1、2011年考研数学三真题一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）(1)已知当 时， 与 是等价无穷小，则x0 ()=33(A) (B)=1,=4 =1,=4(C) (D)=3,=4 =3,=4【答案】C。【解析】【方法一】(洛必达法则)lim033 =lim03331(洛必达法则)=3lim0+33(1)2( )=1(lim02+lim0332) =3=1(12+92)=1由此得 。=4【方法二】由泰勒公式知=33!+(3)sin3=3(3)33! + (3)则 ()=33=3323+(3)33!+ (3)=43+ (
2、3)43 (x0)故 。=3,=4【方法三】lim033 =lim03-3+33=1lim03(-) +lim033 =1lim03(163) +lim016(3)3 =1(12+92) (=3)=82=1 故 =4综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学洛必达(LHospital)法则(2)已知 在 处可导，且 ,则f()=0 (0)=0lim02()2(3)3 =(A) (B)2(0) (0)(C) (D)0 (0)【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑 处导数定义=0lim02()2(3)3 =l
3、im02()-2(0)2(3)+2(0)3=lim0()-(0) 2(3)(0)3=(0)2(0)=(0)【方法二】拆项用导数定义lim02()2(3)3 =0()x 20(3)3由于 ，由导数定义知(0)=00()x =(0), 0(3)3 =(0)所以lim02()2(3)3 =(0)2(0)=(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数 ,则()=lim02()2(3)3 =lim03233 = -1而对于 ,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应()=.(0)=1选(B)【方法四】由于 在 处可导，则f()=0()=(0)+(0)+()=(0)+()(3)=(0)3+(3)lim
4、02()2(3)3 =lim02(0)+()2(0)3+(3)3=(0)2(0)=(0)综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设 是数列，则下列命题正确的是(A)若 收敛，则 收敛。=1 =1(21+2)(B)若 收敛，则 收敛。=1(21+2) =1(C)若 收敛，则 收敛。=1 =1(21-2)(D)若 收敛，则 收敛。=1(21-2) =1【答案】A。【解析】若 收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛=1综上所述，本题正确答案是 A。【考点】高等数学无穷级数级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设 ,则 的大小=40,=40
5、,=40,关系为(A) (B) 0) 1,2,(2)来自该总体的简单随机样本，则对于统计量 和1=1=1,有2=1-1-1=1+1(A) (B)12,12 12,12 10()当 时， , 单调减；( 3,+) ()0lim+()=+4+43 3= -则 为 的一个零点，在 内 还有一个零= 3 () ( 3,+)()点故 恰有两个实根。4+43 3=0【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，函数单调性的判别(19)设函数 在 上有连续导数， 且()0,1 f(0)=1,其中 (+)= ().求 的表达式。=(,)|0,0(02 ()=0当 时， ；01 ()=0=当 时，10 01在 时，条件概率密度=(01)|()=(,)(y)= 12(1),02,0,其他 【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布多维随机变量及其分布函数，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常见二维随机变量的分布
