1、二次函数 y=a（x-h) 2+k(a0)的图象与性质知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数 2()yaxhk(a、h、k 常数，a0)的图象掌握抛物线2()yaxhk与 2图象之间的关系；2.熟练掌握函数 ()yxk的有关性质，并能用函数 2()yaxhk的性质解决一些实际问题；3.经历探索 2()ah的图象及性质的过程，体验 2()与 2yax、 2k、2()yx之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法【要点梳理】要点一、函数 与函数 的图象与性质2()0yah2()(0)yaxhka1.函数 的图象与性质 x2.函数 的图象与性质2()(0)yaxhka要
2、点诠释：二次函数 2()+(0yaxhk）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质运用数形结合、函数、方程思想解决问题a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0h）x=hxh时， y随 x的增大而增大； xh时，随 的增大而减小； 时， y有最小值 0向下 ）x=h时， 随 的增大而减小； 时，y随 x的增大而增大； xh时， 有最大值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk）x=hxh时， y随 x的增大而增大； xh时，随 的增大而减小； 时， y有最小值 k向下 ）x=h时， 随 的增大而减小； 时，y随 x的增大而增大； xh时， 有最大
3、值 要点二、二次函数的平移1.平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 2yaxhk，确定其顶点坐标 hk）； 保持抛物线 2yax的形状不变，将其顶点平移到 ）处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 要点诠释： cbxay2沿 y轴平移:向上（下）平移 m个单位， cbxay2变成m（或 cbxa2） cxy2沿 x 轴平移：向左（右）平移 个单位， cxy2变成cba)()(（或 mxbxy)()(2）【典型例题】类型一、二次函数 图象及性质2()(0)yaxhka1. 已知 2是由抛物线 21
4、yx向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到的抛物线(1)求出 a、h、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出 2()yaxhk与 21yx的图象；(3)观察 2()yxk的图象，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大；当 x 取何值时，y 随 x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察 2()ah的图象，你能说出对于一切 x 的值，函数 y 的取值范围吗?【答案与解析】(1) 抛物线 21yx向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到的抛物线是 21()yx， 2a， ， kh(2)函数 ()yx与 2yx的图象如图所示(3)观察 21()yx的图象知，当
5、1x时，y 随 x 的增大而增大；当 时，y 随 x 增大而减小，当 x1 时，函数 y 有最大值是 2(4)由图象知，对于一切 x 的值，总有函数值 y2【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线 2y平移后的抛物线的解析式，再对比2()yaxhk得到 a、h、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题举一反三：【变式】把二次函数 2()yaxhk的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 12的图象（1）试确定 a、 h、 k 的值；（2）指出二次函数 2()yxk的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性【答案】 （1） ,15.（2）开口向下，对称轴 x=1, 顶点
6、坐标为（1，-5） ，当 x1 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x1 时， y 随 x 的增大而增大.2. 已知函数 2351，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（ ）A0 B1 C2 D3【答案】D；【解析】函数 2135xy的图象如图：，根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 恰好有三个，k=3故选 D【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题类型二、二次函数 性质的综合应用2()(0)yaxhka3.（2014 秋滨海县期末）已知：二次函数 y=x24x+3（1）求出该二次函数图象的对称
7、轴和顶点坐标；（2）求出该抛物线与 x 轴的交点坐标；（3）当 x 取何值时，y0【解析】解：（1）y=x 24x+3，y=（x 2） 21，对称轴为：直线 x=2，顶点（2， 1） ；（2）令 y=0，则，x 24x+3=0，（ x1） （x3）=0，x1=1，x 2=3，与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） ；（3）当 1x3 时，y0【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与 x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便举一反三：【变式】 （2014 秋 岑溪市期末）已知抛物线 y=2（x1） 28（1）直接写出它的顶点坐标：
8、，对称轴： ；（2）x 取何值时，y 随 x 增大而增大？【答案与解析】解：（1）抛物线 y=2（x 1） 28 的顶点坐标为（1， 8） ，对称轴为直线 x=1；故答案为（1，8） ，直线 x=1；（2）当 x1 时，y 随 x 增大而增大4. 如图所示，抛物线 213()的顶点为 C，与 y 轴交点为 A，过点 A 作 y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B(1)求直线 AC 的解析式 2ykxb；(2)求ABC 的面积；(3)当自变量 x 满足什么条件时，有 12y?【答案与解析】 (1)由 213()y知抛物线顶点 C(-1，0)，令 x0，得 3y， 0,A由待定系数法可求出 3b， k， 2yx(2) 抛物线 213()的对称轴为 x-1，根据抛物线对称性知 (2,3)B ABCS (3)根据图象知 0x或 时，有 12y【总结升华】 图象都经过 A 点和 C 点，说明 A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围
