1、20.垂径定理知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线过圆心；垂直于一条弦；平分这条弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。精典例题：【例 1】如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E，若AE2cm ，BE 6cm ，CEA 30 0，求：（1）CD 的长；（2）C 点到 AB 的距离与 D 点到 AB 的距离之比。分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。解：（1）过点 O 作 OFC
2、D 于 F，连结 DOAE2cm，BE6cm ，AB8cmO 的半径为 4 cmCEA30 0，OF1 cm cm52DF由垂径定理得：CD2DF cm（2）过 C 作 CGAB 于 G，过 D 作 DHAB 于 H，易求 EF cm3DE cm，CE cm)315()315( 2EDH【例 2】如图，半径为 2 的圆内有两条互相垂直的弦 AB 和 CD，它们的交点 E 到圆心O 的距离等于 1，则 （ ）CABA、28 B、26 C、18 D、35分析：如图，连结 OA、OC，过 O 分别作 AB、CD 的垂 线，垂足分别为 M、N，则 AMMB，CN ND 。OMMN ，MEEN，CNND
3、 22EO从而 2CNA即 222 1)()(DB例 1图 HE FGODCBA 例 2图 MNEODCBA 例 2图 MNEODCBA 282CDAB故选 A。【例 3】如图，等腰ABC 内接于半径为 5cm 的O，ABAC，tanB 。求：31（1）BC 的长；（2）AB 边上高的长。分析：（1）已知 ABAC，可得 ，则 A 为 的中点。已知弧的中点往往CBB连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。解：（1）连结 AO 交 BC 于 D，连结 BO由 ABAC 得 ，又 O 为圆心A由垂径定理可得 AO 垂直平分 BCtanB ，设 AD
4、cm，则 BD cm31xx3OD cm)5(在 RtBOD 中， ，解得 ， （舍去）222)5()3x102xBD3 cm，BC 6 cm。（2）设 AB 边上的高为 ，由（1）得：AD1 cm ，AB cmh ABDCSAB2 503h探索与创新：【问题一】不过圆心的直线 交O 于 C、D 两点，AB 是 O 的直径，AE 于l lE，BF 于 F。l（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（
5、1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。 分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线 与 AB 的不同位置关系画出不同的图形l例 3图 OD CBA（如下图），直线 与 AB 平行；直线 与 AB 相交； 直线 与 AB 或 BA 的延长线相lll交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。解（1）如下图所示。 l问 题 一 图 1 OH FE DCBA l问 题 一 图 2 OH FE DCBAl问 题 一 图 3 OH FE DC BA（2）ECFD 或 EDFC（3）以图为例来证明。过 O 作 OH 于 HlAE ，BF ，AEOHBFll
6、又OAOB，EHHF，再由垂径定理可得 CHDHEHCHFHDH，即 ECFD【问题二】如图，O 1 与 O2 相交于 A、B 两点，过 A 任作一直线与O 1 交于 M，与O 2 交于 N，问什么时候 MN 最长？为什么？解析：任作两条过 A 的线段 EF、MN，比较 MN 与EF 的大小，不好比较，根据垂径定理，分别过 O1、O 2 作弦心距，易知 CD EF，PQ MN，比较 PQ 与 CD 的2大小即可（PQ O 1O2）。发现 O1O2 是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果 MN 的一半正好是 O1O2，则 MN 最长。答案：当 MNO 1O2 时，MN 最长。跟踪训练：一、选择题：1
7、、下列命题中正确的是（ ）A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D、弦的垂线平分弦所对的弧。2、如图，O 中，直径 CD15cm ，弦 ABCD 于点M，OMMD32，则 AB 的长是（ ）3、已知O 的半径为 10cm，弦 ABCD，AB 12 cm，CD16 cm， 则 AB 和 CD 的距离是（ ）A、2cm B、14cm C、2cm 或 14cm D、2cm 或 12cm4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为 1，则圆的半径长为（ ）A、1 B、 C、2 D、23 25二、填空题：1、在半径
8、为 5cm 的O 中，有一点 P 满足 OP3 cm，则过 P 的整数弦有 条。21问 题 二 图 QP NM FE DCBA选 择 第 2题 图 MODCBA2、如图，O 中弦 ABCD 于 E，AE2，EB 6，ED3，则O 的半径为 。3、等腰ABC 中，AB AC ，A120 0，BC10 cm，则ABC 的外接圆半径为 。4、圆内一弦与直径相交成 300 的角，且分直径为 1 cm 和 5 cm 两段，则此弦长为 。5、如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，ODAC 于 D，BD 交 OC 于 E，若AC4，AB5，则 BE 。第 2题 图 EODCBA第 5题 图 EOD C BA
9、2O1第 6题 图 PDCBA6、如图，已知O 1 与O 2 相交于 A、B 两点，C、A 、D 三点在一条直线上，CD 的延长线交 O1 O2 的延长线于 P，P30 0， ，则 CD 。321三、计算或证明题：1、如图，Rt ABC 中，C90 0，AC3，BC 4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、 BC 分别交于点 D、 E，求 AB、AD 的长。第 1题 图 EDCBA第 2题 图 GFOEDCBA第 3题 图 OED CBA2、如图，O 的半径为 10cm，G 是直径 AB 上一点，弦 CD 经过点G，CD 16cm ，AECD 于 E，BFCD 于 F，求 AE BF
10、的值。3、如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，BAC 的平分线交 BC 于 D，交O于 E，且 AC6，AB8，求 CE 的长。4、如图，ABC 内接于O，弦 ADBC 于 E，CFAB 于 F，交 AD 于G，BE3，CE2，且 tan OBC1，求四边 ABDC 的面积。第 4题 图 GFOEDCBA跟踪训练参考答案一、选择题：BCCD二、填空题：1、4 条；2、 ；3、 cm；4、 cm；5 、 ；6、66510231三、计算或证明题：1、AB5，AD ；582、解：连结 OC，过点 O 作 OMCD 于 M，则 CMMDCD16，AB8，在 RtOMC 中，因 OC10OM 681022CAECD，BFCD，OMCD，AE OMBF ，OGAMEBF 2AEBF 2OM123、提示：连结 OE，由 得 OE 垂直平分 BC 于 F，AB 为直径，则ECBACB90 0， BC 。CF ，EC722A 21)7(24、解：过点 O 作 OMBC 于 M，ONAD 于 N，连结 AOBE3，CE2，BC5，BM 5又tanOBC1，OBM45 0在 Rt OBM 中，OB ，ONME221在 Rt AON 中，AN 72ANOONAD，ANND，AD7 235121DBCEBCSAD
