1、时间序列分析与动态预测 第一节 时间序列及相关概念 一时间序列 time series 1 定义 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成 的序列 用 t 表示观察的时刻 X 表示观察值的数量 则 Xt t 0 1 2 为时间 t 上的观察值 因此时间序 列又可表示为 Xt t 012 或 2 时期序列与时点序列 a 时期序列 观察值是时间段 t 年季月周日等 内的数据 反映现象在时间段 t 内发展变化的总结果 b 时点序列 观察值是时间点 t 年季月周日等 上的数据 反映现象在时间点 t 上的结果 注意 时期序列与时点序列的区别 I 可加性 与时间的关系 III 资料的登记方法 二 时间序列
2、的分类 a 平稳序列 stationary series 基本上不存在趋势的序列序列中的各观察 值基本上在某个固定的水平上波动 b 非平稳序列 un-stationary series 序列的变化规律存在 趋势性 trend 季节性 seasonality 周期性 cyclity 第二节 时间序列的对比分析 一 发展水平与平均发展水平 水平 时间序列中的每一项观察值 体现了客观现象发展变化在各个不同时间上所达到的状态规模或水平 期初发展水平 时间序列中的第一个位置上的发展水平 记为 x1 期末发展水平 时间序列中的最后一个位置上的发展水平 xn 中间发展水平 时间序列中的首尾两个位置以外的其余
3、位置上的发展水平 即 x2 x2 xn-1 基期水平 作为对比分析基础的观察值水平 报告期水平 作为被比较对象的观察值水平 注意 基期与报告期的关系 平均发展水平 客观现象在各个时间上达到的发展水平的平均数 平均发展水平的计算 1 时期序列平均发展水平简单算术平均 若时间序列为 x1 x2 xn 则 2 时点序列平均发展水平 a 若时间间隔以日 天 计 则公式 141 有效 b 若时间间隔大于日 且各时间点的间隔距离相等 则 c 若时间间隔大于日 且各时间点的间隔距离不相等 则 例 143 某地区 2000 年人口数 单位万人 如下 计算该地区 2000 年的平均人口数 二 增长量与平均增长量
4、 增长量 时间序列中不同时期发展水平的差 反映了客观现象在观察期内增加或减少的绝对数量 即 增长量 报告期水平 - 基期水平 144 逐期增长量 t t Xt1- Xt 145 基期水平都 选择为报告期的前一期水平 累积增长量 st st Xt - X1 146 基期水平都选择为最初或某一固定时期的水平 逐期增长量与累积量的关系 st 12 st 12 3 st 12 34 st 123 n 例 144 销售额变化的增长量 平均增长量 观察期内各时期增长量的平均数 主要用于反映 现象在观察在观察内平均增减变化的情况 即 三发展速度与平均发展速度 发展速度 时间序列中两个时期发展水平的比值 反映
5、了客 观现象在观察期内变化的快慢 即 例 146 计算人均收入的发展速度 四 增长速度与平均增长速度 增长速度 增长量与基期水平的比值 用于反映现象发展变化的相对程度 计算方法为 例 148 计算人均收入的发展速度 第三节 时间序列的分解与假定模型 时间序列的构成要素 长期趋势成分 T 季节 性或季节变动成分 S 周期性或循环波动成分 C 随机性或不规则性成分 I 资料来源中国统计年鉴 2001北京中国统计出版社2001 长期趋势成分 T 季节性或季节变动成分 S 时间序列的假定模型 第四节 长期趋势的测定与预测 要点 a 对时间序列进行平滑以描述序列的趋势b 对时间序列进行短期预测 长期趋势
6、的测定的意义 1 现象运动发展和变化的基本态势 2 现象受到某些基本的决定性因素的影响 3 测定长期趋势并从序列中分解出趋势性成分后有利于研究季节变动循环变动和不规则变动 一长期趋势的测定 1 时距扩大法 测定时间序列长期趋势一种比较简单的方法 把原来的时间序列中的各个时间上的观察值加以 合并 得到较长时间上的观察值 从而强化较长时 距上的趋势特征 表1411 商品出口额 简单移动平均法 simple MA 将最近的k 期数据的平均值作为下一期的预测值 设移动的间隔为 k 1 k t 则 t 期的移动平均为 例 对表中数据进行 2 期 3 期 4 期和 5 期光滑处理 例 1412 一自行车生
7、产厂家过去十年的自行车销售量时间序列如下表 单位 千辆 试用最小二乘法建立趋势直线方程并求出趋势值 二 趋势预测 1 移动平均 MA 预测 以时间序列中 k 个时期的观察值的平均数直接作为下一个时期的现象的估计值 即 汽油销售量数据图及平滑数据图 如果已经获得时间序列的趋势直线方程 则 可将直线方程中的时间项用所欲预测的时间值替代 即可计算出相应的预测值 参见 P399 例 1413 用 SPSS 演示计算方法 通过对预测误差的分析 达到两个目的 1 确定预测结果的可用性 2 判断所用分析方法与模型的合理性 预测误差 实际观察值与预测估计值之间的离差 即 Dt 绝对值的算术平均值即 Dt 的平
8、方的算术平均值即 MSD 的算术平方根即 第五节 季节变动的测定与分析 一季节性分析 测定季节性因素是为了确定现象过去的季节变化规律以作为当前活动的依据 同时测定季节变动也是为了消除时间序列中的季节因素 以便于分析其他构成因素的影响一 季节指数 seasonal index 季节指数刻画了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征 月份数据 12 个指数 季度数据 4 个指数 季节分析的原理与方法 在乘法模型中季节指数以其平均数等于 100 为条件构成的反映了某一月份季度的数值占全年 平均数值的大小 如果现象的发展没有明显的季节变动则各期 的季节指数等于 100 反之则各期的季节指数大于或小于 1
9、00 季节动的程度是根据各季节指数与其平均数 100 的偏差程度来测定 例 下表是一家啤酒企业 1997-2002 年各季度的啤酒销售量数据试计算各季的季节指数 二 分离季节性因素 用各实际观察值分别除以相应的季节指数 将季节性因素从时间序列中分离出去 即 2 移动平均法 moving average MA 加权移动平均 weighted MA 1028 1997 1083 1996 1171 1995 1241 1994 1147 1993 1064 1992 1034 1991 1031 1990 1180 1989 1188 1988 1073 1987 1065 1986 CPI 年份
10、 1094 1165 1186 1151 1082 1043 1082 1133 1147 1109 3 期 MA 1056 1127 1206 1194 1106 1049 1033 1106 1184 1131 1069 2 期 MA 1131 1161 1156 1122 1069 1077 1108 1118 1127 4 期 MA 1134 1141 1131 1103 1091 1099 1101 1107 5 期 MA 90 120 150 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 CPI 2 期 MA 3 期 MA 4 期 MA 5 期 MA 注意
11、利用移动平均法对时间序列处理后的新序列 项数将减少 若时间序列较平稳时 用移动平均法进行修匀和预测的效果较好 其中关键步骤是移动步长k 的选择 3 半数平均法 假定时间序列的观察值为 Xt t 12n 分成两部份 4 最小二乘法 时间序列的观察值与其估计值的离差的平方和最小 即 设 令 其中 314 286 297 315 275 239 219 255 229 216 销售量 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 年份 解 首选利用散点图观察变化规律 图 146 自行车销售量曲线 2645 合计 314 10 286 9 297 8 315 7 275 6 239 5 219 4 255
12、 3 229 2 216 1 Xt t 0 45 35 25 15 05 -05 -15 -25 -35 -45 t t 314 303 292 281 270 259 248 237 226 215 趋势值 Xt 90750 22275 7525 8125 7575 0575 1275 6825 2375 12425 21825 t- t Xt- X 8250 2025 1225 625 225 025 025 225 625 1225 2025 t- t 2 0 495 215 325 505 105 -255 -455 -095 -355 -485 Xt- X 因此 拟合趋势直线方程为
13、趋势值的预测值列在表格的最后一列 22 15 20 22 18 30 16 18 23 19 21 17 销售量 19 20 20 18 18 19 20 21 19 三期 预测 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 时间 2 指数平滑法 exponential smoothing 预测 进而 22 15 20 22 18 30 16 18 23 19 21 17 Xt 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t 表 1418 汽油销售量的指数平滑 02 185 194 192 185 186 183 188 190 180 178 17 Xt 汽油销售量 三期简
14、单 MA 三期加权 MA 平滑数据 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 利用趋势直线预测 预测误差主要类型 平均绝对差 MAD 均方误差 MSD 均方根误差 RMSD 相对平均误差 MAPD 三预测误差 1 平均绝对误差 计算汽油销售量的三期简单 MA 预测的误差 则其平均绝对误差为 合计 19 22 12 20 19 15 11 20 19 20 10 18 20 22 9 18 20 18 8 19 18 20 7 20 18 16 6 21 19 18 5 19 20 23 4 21 19 3 19 21 2 17 1 简单预测 三期
15、MA 汽油销售量 周 0 3 5 0 4 0 1 -4 -3 4 预测误差 24 3 5 0 4 0 1 4 3 4 误差绝对值 2 均方误差 计算汽油销售量的三期简单 MA 预测的误差 则其均方误差为 合计 19 22 12 20 19 15 11 20 19 20 10 18 20 22 9 18 20 18 8 19 18 20 7 20 18 16 6 21 19 18 5 19 20 23 4 21 19 3 19 21 2 17 1 简单预测 三期 MA 汽油销售量 周 0 3 5 0 4 0 1 -4 -3 4 预测误差 92 9 25 0 16 0 1 16 9 16 误差平方
16、 3 均方根误差 计算汽油销售量的三期简单 MA 预测的误差 则其均方根误差为 4 相对平均误差 计算汽油销售量的三期简单 MA 预测的误差 则其均方根误差为 合计 19 22 12 20 19 15 11 20 19 20 10 18 20 22 9 18 20 18 8 19 18 20 7 20 18 16 6 21 19 18 5 19 20 23 4 21 19 3 19 21 2 17 1 简单预测 三期 MA 汽油销售量 周 0 3 5 0 4 0 1 -4 -3 4 预测误差 12921 1364 3333 000 1818 000 500 2500 1667 1739 预测误
17、差比 41 54 43 31 2002 38 55 42 29 2001 37 51 39 30 2000 35 50 39 29 1999 30 42 38 30 1998 26 37 32 25 1997 4 3 2 1 季 度 年份 1999 1998 1997 年份 29 9 1 39 10 2 50 11 3 35 12 4 30 8 4 42 7 3 38 6 2 30 5 1 26 4 4 37 3 3 32 2 2 25 1 1 销售量 时间 t 季度 3850 3825 3700 3500 3475 3500 3400 3275 3125 3000 4 期 MA 38500
18、38375 37625 36000 34875 34875 34500 33375 32000 30625 CMA 09091 13029 10365 08056 08602 12043 110214 08989 08125 12082 比值 XCMA 2002 2001 2000 31 21 1 43 22 2 54 23 3 41 24 4 38 20 4 55 19 3 42 18 2 29 17 1 37 16 4 51 15 3 39 14 2 30 13 1 4225 4150 4175 4150 4100 4075 3975 3900 3925 3875 3850 41875 4
19、1625 41625 41250 40875 40250 39375 39125 39000 38625 10269 07447 09129 13333 10275 07205 09397 13035 10000 07767 合计 07447 07205 07767 08056 08989 1 季 度 12690 2002 09129 13333 10275 2001 09397 13035 10000 2000 09091 13029 10365 1999 08602 12043 11014 1998 08125 12062 1997 4 3 2 年份 各季节 指数计算表 44344 635
20、22 51924 39464 合计 40000 8902 12752 10424 7922 季节指数 39851 8869 12704 10385 7893 平均 西南民族大学经济学院 毛瑞华 统计学 西南民族大学经济学院 毛瑞华 统计学 Xn X1 X0 观察值 Xt n 1 0 时 间 t 例 141 计算每周汽油的平均销售量 22 15 20 22 18 30 16 18 23 19 21 17 销售量 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 周 例 142 计算 36 月该企业的平均职工人数 1420 1460 1500 1400 销售量 6 月 30 日 5 月 31日
21、 4 月 30 日 3 月 31 日 时间 64 10 月 1 日 62 61 63 65 人口数 12 月 31 日 7 月 1 日 3 月 1 日 1 月 1 日 统计时点 499 1993 55 44 40 35 销售额 1994 1992 1991 1990 年 份 59 51 4 5 逐期增长量 149 20 9 5 累积增长量 平均增长量 逐期增长量之和 逐期增长量个数 累积增长量 时间序列项数 -1 例 145 销售额变化的平均增长量 平均增长量 销售额平均每年增加 5 百万元 925 1994 923 1993 1080 910 910 890 人均收入 1995 1992 1
22、991 1990 年 份 1002 1014 1168 1000 1022 环比发展速度 1039 1037 1213 1022 1022 定基发展速度 时间序列中各时期发展速度的一般水平称为平均发展速度 925 1994 923 1993 1080 910 910 890 人均收入 1995 1992 1991 1990 年 份 1002 1014 1168 1000 1022 环比发展速度 02 14 168 0 22 环比增长速度 1039 1037 1213 1022 1022 定基发展速度 39 37 213 22 22 定基增长速度 平均增长速度 平均发展速度 - 1 1417 即
23、t1 期增长 1 的实际数据为第 t 期的发展水平除以 100 1121 4854 1994 1145 2939 1993 1160 2287 1992 1298 1879 1991 1439 1634 1990 1504 1512 1989 1573 1355 1988 1661 1103 1987 1557 956 1986 人口增 长率 人均 GDP 元 年份 人均国内生产总值等时间序列 824 7078 2000 877 6547 1999 953 6307 1998 1006 6054 1997 1042 5576 1996 1055 4854 1995 人口增 长率 人均 GDP
24、元 年份 2154 第二季度 1834 第一季度 1997 1986 第四季度 2514 第三季度 2343 第二季度 1921 第一季度 1996 1908 第四季度 2415 第三季度 2203 第二季度 1861 第一季度 1995 客房出租数 时 间 旅馆客房出租数 2098 第三季度 1967 第四季度 2339 第三季度 2414 第二季度 2073 第一季度 1999 1965 第四季度 2304 第三季度 2025 第二季度 1873 第一季度 1998 2098 第四季度 1997 客房出租数 时 间 客房出租数 19951 1800 2000 2200 2400 2600
25、19961 19971 19981 19991 87 1998 产量 年份 75 1992 78 1993 82 1994 82 1995 84 1996 85 1997 91 1999 1992 1999 年的粮食产量 75 80 85 1992 1994 1996 1998 2000 90 95 加法模型 Xt TtStCtIt t 12n 1419 乘法模型 Xt TtStCtIt t 12n 1421 乘法模型 1421 可变形为 lnXt lnTtlnStlnCtlnIt 1422 Xt TtStCtIt t 12n 1423 399 1997 324 1996 出口额 年份 213 1990 273 1991 258 1992 263 1993 293 1994 294 1995 424 1998 1147 19961998 出口额 年份 744 19901992 850 19931995
