1、 1.1 引 言教学内容 1. 介绍方程 基本问题; 2.介绍代数方程组0a ,cxba2基本问题; 3. 引入物理、生态中微分方程模型及其关心的问题; 4. 介2ij)(aA,bx 绍本课程基本问题及其内容安排和考核目标. 教学重难点 重点是知道微分方程基本问题，难点是如何根据实际问题建微分方程模型 . 教学方法 自学 1、2、讲授 3、4，课堂练习 考核目标 1. 会求解一元二次方程; 会求出一元三次方程所有有理根; 2. 会求出线性齐次代数方程组基本解系; 3. 会用微元法和导数的物理和几何意义建立微分方程模型. 1. 代数方程的相关准备: 例 1. (1) 求解 ， , 解得 .065
2、2x26453,21x例 2. 考察 ，假设参数 可以变动，则 时，方程有两个实根， 时，200方程没有实根， 时，方程恰有一个实根，因此 是一个分支点，参数 由正变动0到零再到负数时，方程根的个数发生了变化；而 就不是一个分支点。1例 3. 如何不通过求解 ，其中 来获得解的实根个数及其符号？0x2 R,设 为方程两个根，则 ，于是得到21, 0x)(21 ，再结合 符号.即可 a,2142作业：1. 在 平面上画出不同 点下，方程 根分布.)(, 2例 4. 求解 -6+11 x-6 x2+x3 = 0 , 根据高等代数P32 定理 12, 进行如下试解. 系数为 1，常系数为-6, 于是
3、有理根候选点为 ，经代入验证得到， (x-3) (x-3x 3,12) (x-1)0. 例 5. 求解 -2+x2+x30 , 如果能找到一个有理根，则可转化为一元二次方程。根据高等代数P32 定理 12, 进行如下试解. 系数为 1，常系数为-2 于是有理根候选点3x为 ，经验证 1 为方程一个根；再由辗转相除法得到 -2+x2+x3 = (x-1)(x2+2x+2)于,1是得到方程的根为 . ,1,32xiix作业：2. (1) 求解 2+4 x+3 x2+x30. (2) 求解方程 -2+7 x-7 x2+2 x30.思考：如何求解方程 2 -2 x- x2+x30，如何获得方程实根个数
4、，如何得到实根近似值？思路：1. 一元三次方程的 卡当公式、盛金公式 (一元五次方程呢？) 几何方法： 2. 数值 方法：二分法、牛 顿 切线法2. 线性代数方程组的相关准 备：例 6. 求解 线性非 齐次代数方程 组 -1+x+5 y=0， -2+2 x+y=0.解：改写为 ，系数行列式 A= ， . bxA12521b,yx由克莱姆法则（参见高等代数P83 定理 4）得到.09125y ,9125x练习：3. 求解代数方程 组 -1+2 x+3 y=0， -2+3 x+y=0.例 7. 求解 线性 齐次代数方程 组 x+2 y+z=0, 2 x+y-z=0, 2 x+4 y+2 z=0.
5、解：改写为 ，再由初等行变换（参见高等代数P111 定理 1 及例题）可得，方bxA程组基础解系为 ，而方程组通解 为任意常数. 1c,x例 8. 求出矩 阵 A= 的特征值和相应的特征向量，并求出 .2 Nn ,A解：A 的特征多项式为 ，于是特征值为 。)1(3-12|EA| 3,12（参见高等代数P298 定义及例题）2 1 1 2 3 4105510当 时，求解 ，解得基础解系为 ；10x E)(A11当 时，求解 ，解得基础解系为 .31 )(2 2改写 为 ，再次用分块矩阵改写为0 E)(i1,i i. 记 ，于是 ，或 . 22121 , ,A 1-) ,(P21 PA-1P，
6、（伴随矩阵和逆矩阵参见 高等代数P176 定义 9 和定理/12|P*1-3） ， . 1)(3)(21P 3(- P A nn-n1-n-1-n ）练习 4. 求出矩 阵 A= 的特征值和相应的特征向量，并求出 .2 N ,A练习 5. 讨论 参数 a,b 取何 值时，方程组 有解，并求出解来？（参见4zy 2bx3 a高等代数第三章习题 17（3） ）思考：考察线性非齐次代数方程组 ，其中 为 10000 个未知数构成向量， 为AA10000 阶方阵，如何求解？高斯消元法，初等行变换解法可行吗？ 数值上采用迭代法求解方法。例 9. 关于非 线性代数方程组 解的个数？（参见高02y x0,1
7、2y等代数P150 定理 10 和例题）小结： 代数方程基本问题：方程根的求解、根个数定性分析、根的数值求解3. 微分方程模型导数的物理意义是瞬时变化率，或速度，几何意义是平面曲线上点的切线斜率（参见数学分析上P87） ，二阶导数就是速度的变化率，也就是加速度. 由牛顿运动定律知，物体运动的加速度等于所受的合力，即 ，其中 分别表示物体质量、位置和Fx m ,x合力， 运动的加速度。2dt()x建模所用方法：例 10. 求一曲线的方程，使得它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两段. 解：设曲线为 , 则曲线每一点 处切线的斜率为 ，于是切线方程y(x) :y) (x, (x)yk为 ，其
8、中 为切线上点坐标. XY :LY由切线方程可得切线 L 与坐标轴交点坐标分别为 和 .)( A(0,0) (,/B由切点 为 A 和 B 的中点知， . y) (x, y2x2y/x0化简得到 . /所求曲线的方程为 . xyd作业 6. P28 习题 8(3) 例 11. 牛顿冷却定律：在一定温度范围内，一个物体温度变化率与这个物体与其所在环境介质温度的差值成比例。 （生活经验：夏天开水冷却得慢，冬天开水冷却得快）现从冰箱拿出一块冷冻牛肉放置在室温( =20 )下解冻，5 分钟后测定牛肉温度为eToC， 请写出该块牛肉温度随时间变化的规律，并讨论当 t 趋于无穷时，T 的变化趋势. 0T1
9、解：设 表示 时刻 t 牛肉的温度，则 . 由牛顿冷却定律知，(t) 1() 0,()为冷却系数 . 这说明当外部 时，T 是上升的，而当 ，0k ,dte eTeT 是下降的. 作业：7. 设某社会的总人口为 N，当时流行一种传染病，得病人数 为 x. 假设该传染病传染率与得病人数和未得病人数的乘积成比例。试写出得病人数随时间变化的规律，并讨论当 t 趋于无穷时，x 的变化趋势 .例 12. 设有高为 H 米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为 S 米 . 2在开始时，容器装满水，试建立容器内水面高度 h 随时间变化的规律，并求出水流完所需时间.解：设自变量为时间 t，容器内
10、水面高度为 h，容器最低点为原点，向上为 h 轴正向，如上图建立坐标系. 现用微元法建立 h(t)所满足的微分方程. 设在 t 到 时间内水面高度从th 变化到 h+ , 这里 , 此时水体积改变量 . 0h 222)(Hr ,V另一方面，假定在 t 到 时间内流出水的速率不变为 ，则 ，这tv(t)tv S里添加符号，是由于 . V再由能量守恒定律知，流出水的动能增加等于容器水势能减少，设水的密度为 ,则，即 . 2 v1h gVhg综上知， ，令 得到 .t v()S)h(H220t )h(Hg 2Sdth化简得到 )(g Sdt2改写上述导数为微分形式有 ，dh g 2S)(dt两边积分
11、得到 ， )dh H( h )H2(t 3/21/ ，其中 c 为积分常数. 注意到 h(0)=H，定出 c=)34h52(gSt /2/. 5/25/2/2H14gS)H(这里求出是 h=h(t)的反函数 t=t(h), 于是令 h=0，得到水流完时间 . 5/2H14gST作业 8. 设有高为 H 米的圆柱形水桶，水桶底面积为 A 米 , 水从它的底部小孔流出，小2孔的横截面积为 S 米 . 在开始时，水桶装满水，试建立水桶内水面高度 h 随时间变化的2规律，并求出水流完所需时间.4. 常微分方程基本问题与课程内容基本问题：（1）如何根据具体自然科学和工程技术问题，建立反映所研究变量与变量满足的微分方程（组）？（2）如何回答微分方程（组）是否有解？若方程有解，是一个还是多个？（3）若微分方程（组）有解，能否把解的表达式写出来，并且对解函数进行分析？（4）若微分方程（组）解的表达式不能具体写出来，如何研究解函数的性质？课程内容: 研究对象 线性微分方程（组） 、少许非线性微分方程（组）
