1、第四届全国高中青年数学教师录像课观摩与评比数学归纳法及其应用举例选送单位:甘肃省教科所参赛教师: 何乃文选手单位:甘肃省兰州一中2008 年 9 月 10 日第 1 页 共 13 页课题：数学归纳法及其应用举例授课教师：甘肃省兰州一中 何乃文联系方式：电话：09318821653 手机：13909427771E-mail：henaiwende126. com【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)3. 培养
2、学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学
3、态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；第 2 页 共 13 页3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯.【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情
4、境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、 “小明弟兄三个，大哥叫大毛”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？ 以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法-归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐 . 情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共 12 个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性 方法二：一个一个拿，拿一个看一个比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，第十二个白球
5、，由此得到：第 3 页 共 13 页这一袋球都是白球特点：有顺序，有 过程2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列 通项公式推导过程：na12341()nadad 设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题 -归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔 .二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回
6、答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法. 在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法4. 引导学生举例：不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式: (V 为顶点数,E 为棱2F数,F 为面数) 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上第 4 页 共 13
7、页三种情况讨论设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中. 三 、借助史料, 引申思辨问题 1： 已知 （ n N） ，na22)5(1) 分别求 ； ； ； 134(2) 由你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？ 问题 2： 费马（ Fermat）是 17 世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献他曾认为，当 n N
8、 时， 一定都是质数，这是他对 n0，1，2，3，412n作了验证后得到的后来，18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（ Euler）却证明了 4 152294 967 2976 700 417641，从而否定了费马的推测没想到当 n5 这一结论便不成立教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的但是要告诉同学们，失 误的关键不在于多算一个数上！问题 3 ： , 当 n N 时， 是否都为质数？41)(2nf )(nf验证： f（0）41， f（1）43， f（2）47， f（3）53， f（4）61， f（5）71， f（6）83， f（7）97， f（8）113， f（9）
9、131， f（10）151， f（39）1 601但是 f（40）1 681 ，是合数241承上启下：这里算了 39 个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我 们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.第 5 页 共 13 页教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管
10、是我们还是数学大师都有可能如此那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件： 第一块要倒下; 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为， “有指导的发现学习”强调知识发生发展过程这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数
11、学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。概括能力是思维能力的核心鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程五、类比联想，形成概念1、 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 (师生共同完成,dnan)1第 6 页 共 13 页教师强调步骤及注意点)(1) 当 n1 时等式成立； (2) 假设当 n k 时
12、等式成立, 即 , dkak)1(则 = , 即 n k1 时等式也成立 dak1 d1)(1于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式 对任何 n 都成dnan)1(*N立2数学归纳法原理(学生表述,教师补正)：（1） （递推奠基）： n 取第一个值 (例如 )时命题成立；0n01（2） （递推归纳）：假设当 n=k(kN *，且 k n0)时结论正确；（归纳假设）利用它证明当 n=k+1 时结论也正确.（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确，这种证明方法叫做数学归纳法3、数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）设计意图：至此，由生活实例出
13、发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点. 数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.六、讨论交流，深化认识例 1、 数列 中, 1, (n ), 通项公式是什么？你是怎na1na1*Nna么得到的？探讨一：观察数列 特点，变形解出.na探讨二：先计算 ， ， 的值，再推测通项 的公式, 最后用数学归纳法证明234na结论设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验“观察归纳猜想证明”第 7 页 共 13 页完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也
14、能使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力不同的方法也体现解决问题的灵活性.七、反馈练习, 巩固提高（请两位同学板演以下两题，教师指正）1、用数学归纳法证明：135（2 n1） 22、首项是 ，公比是 q 的等比数列的通项公式是 1a 1nqa3、用数学归纳法证明： 时，下列推证是否正确，说2642出理由？证明：假设 时，等式成立kn就是 成立12642k那么 =12k2这就是说当 时等式成立，n所以 时等式成立.*N4、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.求证： 2311()2nn 证明：当 n=1 时，左边 右边 ，等式成立.21设 n=k 时，有 kk)(213 那
15、么，当 n=k+1 时，有，即 n=k+1 时，命题成立 奎 屯王 新 敞新 疆11132 2221 kkk 根据可知，对 nN ，等式成立.第 8 页 共 13 页设计意图：练习题 1，2 的证明难度不大，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充通过 3， 4 的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论， “递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.八、总结归纳，加深理解1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；2、归纳法是
16、一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想九、布置作业, 课外延伸十、书面作业：见教材 P56课后思考题：1. 是否存在常数 a、b、c 使得等式： )2(.53421n)(612cbna对一切自然数 n 都成立 奎 屯王 新 敞新 疆并证明你的结论.
17、2.是否存在常数 a、b、c ，使得等式 1 )(12)(.322cbnan对一切自然数 n 都成立？并证明你的结论（a=3,b=11,c=10 ）设计意图设计意图 : 思考题则起着承上启下的作用, 它既是“观察归纳猜想证明”的完整思维探究过程的再体验，也是对下节课内容的铺垫与伏笔第 9 页 共 13 页十一、课后反思本节课的实际教学时间是 40 分钟，主要的教学环节和过程比较完整。1、情景设计的意图在于引出课题，激发学生兴趣，为主题打下伏笔。这里承上启下处理的比较到位，但稍显冗长，节奏较慢，细节处理上还需改进。2、问题的提出，数学史料的引用，引导学生认识不完全归纳法作为方法的必要性、不足及其
18、的弥补方法。问题层层递进，为学生营造探究的课堂氛围。特点是师生互动，学生能积极参与。3、通过类比多米诺骨牌游戏演示，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习，学生观察归纳类比抽象，得到数学归纳法原理，此环节为本节核心内容，教学目的基本达到，不足是时间稍紧，探究的结果如果由学生说出，效果会更好。4、有讲有练，落实三基，培养能力，有形式有内容，有检测评价，有易错辨析，既掌握了通性通法，也鼓励学生灵活解题。5、有头有尾，重点强调，内容延伸。另外，本人教学中有很多不足，如：紧张，教学语言尚需提炼等等。总之，教学过程体现以情境为起点，问题为中心，层层推进，这种安排强调过程，符合学生的认知规律
19、，使数学课堂教学成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。第 10 页 共 13 页数学归纳法及其应用教学设计说明人 民 教 育 出 版 社 全 日 制 普 通 高 级 中 学 教 科 书 数 学 第 三 册 (选 修 II)第 二 章 第 一 节甘肃省兰州一中 何乃文数学归纳法及其应用举例是人教社全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修 II)第二章第一节的内容，归纳法是人们认识真理的常用方法，而数学归纳法是传统内容，是一种严格的证明方法，专门用来论证与自然数有关的命题，体现一种思想，这种思想方法是人类智慧的骄傲.本节共三课时，这是第一课时, 主要内容是数学归纳法理解
20、与简单应用我主要针对第一课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1 数学本质及在教材中的地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课.前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步了解和使用了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法.不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段, 几乎可以说全部中学数学教材都贯穿了归纳法基本思想. 但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法-数学归纳法. 数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的
21、正确性的证明方法，它的本质是将无穷的归纳过程转为有限的演绎过程的一种思维方法. 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节.它的操作步骤简单、目标明确. 教学的最终目的应该是数学归纳法的应用. 数学归纳法不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的，它是一种高明的数学思维，用数学归纳法去论证与自然数 n 有关的命题更具普遍性；学习数学归纳法，不仅能证明有关问题，更重要的是可以开阔学生的眼界，还可以使他们受到论证思维的训练. .本节内容也是培养学生严密的推理能力、训练学生抽象的思维能力、体验数学内在美的好素材.1.2 教学诊断分析 运用数学归纳法证明与自然数
22、 n 有关的命题虽说只有两步，但第 11 页 共 13 页是原理很抽象新教学理念告诉我们，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的简单操练.对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重为什么必须是两步呢？于是作为教师就会被动，可能反复举例，说明二步缺一不可你怎么知道 n=k 时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受学完了数学归纳法的学生又往往会出现“短路”问题，应该用时却想不起来，等等为此，我在教学设计中，设法进行强化数学归纳法产生过程的教学，通过列举一定的实例，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法完善结合起来把数学归纳法的原理与生活联系，这样不仅
23、使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机在学生数学归纳法理解中恰当的融入数学史的教学，也正面提升了学生数学学习的态度与学习成就感. 应此，根据本课的教学要求、内容特点和学生现有认知水平，不难确定本课教学重点为归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析,初步理解数学归纳法的原理;教学难点是数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可此外，数学归纳法的应用将重点放
24、在下一课时完成，这种设计不仅使学生能够充分认识数学归纳法的原理与本质，更为课后的自修学习提供了很大的空间，便于发挥学生探究学习的主动性二、学情分析2.1 学生的认知特点： 我所在的学校是省属重点中学，所教的班级是重点班，学生基础还不错.在知识方面，对数列已经熟悉，通过回顾数学旧知，追溯归纳，借助数学史料, 促使思辨，新知教学会有很好的基础；在技能方面，高二学生，有较强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定：鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,我拟定如下的教学目标:知识与技能：第 12 页 共 13 页 了解
25、由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳的原理与实质; 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题( 如恒等式等) 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想过程与方法: 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想; 通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力; 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问
26、题过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观: 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神.三、教法与学法在教学方法上，我在这里运用了教师引导下的师生互动讨论、共同探究的方法本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生的思维也往往是从问题开始的，通过研读教材，我把本节课按照思维次序编排了问题链，把本节课的探究内容置于问题之中，包括引入和深入，类比和启发、巩固与
27、反思、尽力使学生投入到思维活动中来，第 13 页 共 13 页在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展而这种参与的深度、广度、智能度取决于教师的现场调控和灵活把握，教师应充分做好发动、组织、引导和点拨 探究方法能使是学生主动参与知识的发生、发展过程，自然的建构知识和方法体系.学生在探究问题过程中学习，在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔的精神，使他们学会学习 . 四、过程及预期效果分析数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过程中注重把教材内容与生活实践结合起来，笑话，
28、老的掉牙的脑筋急转弯我都用上了，在谈笑间并不离题；另外，我深知所数学归纳法作为中学教学的经典内容，要给其找到生活的原型，多米诺骨牌游戏的类比功能自然是少不了的，虽然从设计到施教很难突破和创新，但我认为要做好对现有的素材更好的整合。要重过程，求突破，看效果. 学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，考虑学生最近发展区，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过实例自然导出数学归纳法的形成,发展及应用过程，帮助学生主动建构.附：教学设计结构图创设情景启动思维师生互动探究问题借助史料引申思辨实例再现激发兴趣总结归纳课外延伸反馈练习巩固提高讨论交流深化认识类比联想形成概念第 14 页 共 13 页
