1、信息技术与数学教育的整合李正太一 信息技术与数学教育的整合实践计算机成为认知工具1 借助数学软件，有利于抽象的数学具体化例：标根法解高次不等式(x-1)(x-2)x(x+3)(x+4)0学生自己借助Winplot 作 f(x)=(x-1)(x-2)x(x+3)(x+4)的图像(考虑显示效果，上图为 f(x)=(x-1)(x-2)x(x+3)(x+4)/50 的图像)2. 借助数学软件，学生有更多数学实验的机会，也就是更多再创造和检验的机会。例：研究 y= Asin（x+）的图像学生自己借助 Java applet, 自己输入 A, , 的值，观看图形的变化及五个红点的坐标，并写出实验报告（y=
2、sin(x+),y=sinx, y=Asinx,y= Asin（x+）的图像与y=sinx 的图像间的关系）3. 借助网络，学生有更多数学学习的虚拟空间例： 推荐数字图书馆（）和数学学习交流网址1.http:/bradley.bradley.edu/delgado/potw/potw.html2. http:/forum.swarthmore.edu/wagon/3. http:/www.seresc.k12.nh.us/www/alvirne.html4. http:/www.hamline.edu/depts/math/aguetter/pom/prob_of_month.html5. h
3、ttp:/www.ecst.csuchico.edu/kend/potw/6. http:/math.smsu.edu/les/Challenge.html7. http:/www.trentu.ca/academic/math/dgp/potw_main.html8. http:/www.math.purdue.edu/academics/pow/index.cgi#spring999. http:/www.iwr.uni-heidelberg.de/iwr/agbock/users/mike/PU/MARP.html10. http:/forum.swarthmore.edu/geopow
4、/11. http:/forum.swarthmore.edu/calcpow/12. http:/forum.swarthmore.edu/algpow/13. http:/ http:/archives.math.utk.edu/teaching.html15. http:/ http:/www.cut-the- http:/teachers.work.co.nz/teachers/?s=maths18. http:/www.mualphatheta.org/pom.html19. http:/vishnu.mth.uct.ac.za/digest/20. http:/www.mav.vi
5、c.edu.au/PSTC/problems/challist.htm21. http:/www.math.wayne.edu/boehm/Probweek.htm22. http:/ http:/math.smsu.edu/les/HighSchool.html24. http:/math.smsu.edu/les/Advanced.html25. http:/math.smsu.edu/les/Challenge.html26. http:/problems.math.umr.edu/index.htm27. http:/www.nsa.gov/programs/mepp/usamts.h
6、tml及校园网学习资源4. 借助计算机，学生可以学习和运用更多、更高级的数学（1） 借助计算机，复杂的运算变得可行，枚举的方法得以实现例：根据下表订一五年的机器使用计划.第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 产品年代机龄 项目0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0收入 22 21 20 18 16 27 25 24 22 29 26 24 30 28 32运行费用 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 5 4更新费用 27 29 32 34 37 29 31 34 36 31 32 33 32 33 34MATLAB 程序r=22 21 20 18 16
7、27 25 24 22 29 26 24 30 28 32;%rrevenue;c=6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 5 4;%c:operating cost;n=27 29 32 34 37 29 31 34 36 31 32 33 32 33 34;%n:renewing cost;to=10000000;for i1=0:1%0,keep,1,renew;for i2=0:1for i3=0:1for i4=0:1k=i1 i2 i3 i4;p=find(k=1);l=length(p);switch lcase 0tc=sum(c1(1:5)-r1(1:5);%t
8、c,total costcase 1tc=sum(c1(1:p(1)-r1(1:p(1)+n1(p(1)+ .sum(cp(1)+1(1:5-p(1)-rp(1)+1(1:5-p(1);case 2tc=sum(c1(1:p(1)-r1(1:p(1)+n1(p(1)+ .sum(cp(1)+1(1:p(2)-p(1)-rp(1)+1(1:p(2)-p(1)+np(1)(p(2)-p(1)+.sum(cp(2)+1(1:5-p(2)-rp(2)+1(1:5-p(2);case 3tc=sum(c1(1:p(1)-r1(1:p(1)+n1(p(1)+ .sum(cp(1)+1(1:p(2)-p(1
9、)-rp(1)+1(1:p(2)-p(1)+np(1)(p(2)-p(1)+.sum(cp(2)+1(1:p(3)-p(2)-rp(2)+1(1:p(3)-p(2)+np(2)(p(3)-p(2)+.sum(cp(3)+1(1:5-p(3)-rp(3)+1(1:5-p(3);case 4tc=sum(c1(1:p(1)-r1(1:p(1)+n1(p(1)+ .sum(cp(1)+1(1:p(2)-p(1)-rp(1)+1(1:p(2)-p(1)+np(1)(p(2)-p(1)+.sum(cp(2)+1(1:p(3)-p(2)-rp(2)+1(1:p(3)-p(2)+np(2)(p(3)-p(2
10、)+.sum(cp(3)+1(1:p(4)-p(3)-rp(3)+1(1:p(4)-p(3)+np(3)(p(4)-p(3)+.sum(cp(4)+1(1:5-p(4)-rp(4)+1(1:5-p(4);endif tc0.02t=t+dt;q=1 vo*t;%q:position of enemy warship;w=q-p;d=norm(w);%help norm;u=w/d;%unit vector of w;p=p+vp*dt*u;end 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 例 2
11、一售票处只有一个窗口，每分钟购票人数服从参数为 0.2 的普哇松分布.售一张票耗时服从均值为 3.2 分钟,标准差为 0.6 的正态分布.求平均队长及平均每人等候时间.MATLAB 程序c=exprnd(5,1,1000);%coming interval for each customers=normrnd(3.2,0.6,1,1000);%service time for each customerwo=zeros(1,1000);%waiting time for each customer(including service time)i=2;wo(1)=s(1);while iwo(
12、i-1)wo(i)=s(i);elsewo(i)=wo(i-1)-c(i)+s(i);endi=i+1;endt=sum(c)-c(1)+s(1000);%total time, note:time begins from first customer coming.l=sum(wo)/t;%l:time spent for each customer (including service time)lq=sum(wo-s)/t;%lq:time spent for each customer in queuing 注：数学水平并不仅仅指数学知识的渊博和解决难题的水平，抽象的能力及建立框架（结
13、构）的能力也是数学水平的重要内容。 （3）中学生学习高深的数学知识实例例 1：结合 Lingo 软件，线性规划和非现性规划变得简单易用某邮局每天需一定数量的全职员工:星期一,17; 星期二,13; 星期三,15; 星期四,PQ19; 星期五,14; 星期六,16; 星期日,11. 全职员工连续工作 5 天后休息 2 天. 假设邮局可要求员工加一天班,已知员工正常工作日薪为$50,加班工作日薪为$62.试定一最省钱的人事安排计划.lingo 程序sets:r/12/;c/17/:g,g0;m(r,c):x;endsetsdata:g0=17 13 15 19 14 16 11;!demand o
14、f employees;enddataobjectivemin=250*sum(c(i):x(1,i)+312*sum(c(i):x(2,i);!250,salary of five-day,312,salary of six-day;for(c(i):g(i)=sum(c(j):x(1,j)-x(1,wrap(i+1,7)-x(1,wrap(i+2,7)+sum(c(j):x(2,j)-x(2,wrap(i+1,7);for(c(i):constaint2g(i)=g0(i);for(m(i,j):gin(x(i,j);例 2：图论，微积分，概率统计，曲线拟合算法的计算机实现，Dijkstr
15、a 最短路问题a=1 2 6;1 3 3;1 4 1;2 5 1;3 2 2;3 4 2;4 6 10;5 4 6;5 6 4; .5 7 3;5 8 6;6 5 10;6 7 2;7 8 4;9 5 2;9 8 3;a=a;x=sparse(a(1,:),a(2,:),a(3,:),9,9);x(x=0)=inf;for i=1:9x(i,i)=0;end%adjacency matrixl=9;f=x;%initialize f,pi,j:path from i to j;n=1;while n8for i=1:l for j=1:lfor k=1:ld(k)=f(i,k)+f(k,j);
16、end f(i,j)=min(d);%Dijkstra algorithmend;end;n=n+1;endfor i=1:l for j=1:l;m=i;pi,j=i;%pi,j,path from i to j;while f(m,j)=x(m,j)for k=1:lif (f(m,j)=x(m,k)+f(k,j)m=k;breakendendend;pi,j=pi,j j;end;end;例 3层次分析法，人工神经网变得易于理解，易于使用蠓虫有两类: Af , Apf .现有 9 只 Af 蠓虫和 6 只 Apf 蠓虫,它们的触角长度和翅膀长度如右图*, Afo, Apf横坐标: 触角长
17、度纵坐标: 翅膀长度试判定以下三只蠓虫的类型(1.24,1.80)(1.28,1.84)(1.40,2.04)（REFERENCE:a21.m ）matlab程序Af=1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56;.1.27 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08;%Af type midges feelers and wings length vectorApf=1.14 1.18 1.20 1.26 1.28 1.30;1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96;%Apf type midg
18、es feelers and wings length vectorp=Af Apf;%the input vectors pTc=ones(1,9) 2*ones(1,6);%classes index, Af 1, Apf,2T = ind2vec(Tc);%target vectors Tnet = newlvq(minmax(p),5,.6 .4);%help newlvq%class percentages of 0.6 and 0.4net.trainParam.show=100;net.trainParam.epochs = 1000;net = train(net,p,T);Y
19、 = sim(net,p);Yc = vec2ind(Y);test=nnz(Yc-Tc);%if test equals 0, perfect, otherwise adjust the model;pp=1.24 1.28 1.40;1.80 1.84 2.04;%specimen feeler and wing length y=sim(net,pp);%simulationindex=vec2ind(y)%identification二 信息技术与数学教育的整合的理性思考 2 6 7 任务驱动式的教学模式：为了完成某项任务或解决某个问题，必须学会某些知识，这样在学生完成任务过程中，完成
20、了我们的教学任务。康德说过：让理性在生活细节中闪光沛西 能 在他的教育原理中说过：“从做中学一个数学上的真理，甚至对最优秀的数学学生来说，在它因和行动结合而获得实体以前，可能只是一种难以捉摸的东西。实习作业在数学，地理和自然科学科目教学上的价值不可低估。如果实习作业不易安排，理论上的结论一般在想象的经验背景上提出来，而不应该是纯粹的逻辑说明。 ”借助计算机，增加了实习和体验的机会“自由的思维能力就是不要出现所知觉的物体和通过它的帮助，就能处理各种概念。随着心智成熟的程度，他所获得的习惯的多少，以及他对材料熟悉的情况，自由的思维能力有很大的差异。儿童和没有受过很好教育的人，常常借助事物来思考，他
21、们把事物用作象征性的概念否则他们就不能理解这些概念，有认出费用他的鞋子，手杖，帽子作为他的父母，姊妹合浦人，他就不能解释他和他的家庭分别时的情况。即使受过教育的智力较高的人，当困难的概念用具体的符号来表达时，也是比较容易“理解”得多。 “这就是在教学深奥的学科时，所以要采用模型的心理学依据，借助计算机，可建立更多的模型。约翰 杜威 在他的我们怎样思维经验与教育中说过：“儿童有一种进行推论的天生素质，并且有实验和检验的内在的愿因。在心智的每一个阶段，都有它本身的逻辑，它能够提出种种假设，并且用对种种事物和事件的观察来检验他们的假设，从而得出结论，并试图把结论用于行动中。若让儿童记忆那种人为的，呆
22、板的成人的逻辑模式，是儿童自己的生动的逻辑思维活动逐渐陷入愚笨，矛盾和没有成效的状态。智力教育的真正的问题是在于把自然的能力转变为熟练的检验的能力，把或多或少的偶然的好奇心和分散的一时性的暗示转变为灵敏的，谨慎的和彻底的探究。传统的教材中的定义，划分，分类等是把专家们取得的各种结论加以浓缩提炼而成的。一个人要想获得作出准确的定义，透彻的分类和完整的概括能力，唯一的办法是根据自己的现有水平，进行灵活而周密的思维。因为专家已经有了理智的技能，而未成年人则仍然处于训练理智技能的过程中，把内行专家的终点作为初学者的起点是不科学的。 ”教师应具有较强的处理教材的能力，多给学生一些检验，试验的机会，多给学
23、生一些逻辑上的宽容。否则学生只能是表面上的学会，因为没有真正的思维训练，即使老师讲的再精彩，学生很难达到感悟的水平。最近的国际数学教育会议录中很精辟的阐述了数学感悟与数学的严密性的关系“In fact, rigor and understanding are often separate: Rigor is in one part of the brain, but understanding permeates the brain, the heart and the soul.Rigor without understanding and understanding without rig
24、or are both possible. In any case, the ability to recite a memorized proof of a theorem is not the same as understanding the theorem. The real goal is to understanding.”吴文俊在吴文俊论数学机械化书中讲到:“1.计算机使得数学实验成为现实,当前很多数学现象都是在计算机的荧光屏上发现的.2.数学,不论是学习还是创新,最耗时费力的劳动,往往消耗在定理的证明上,而不是在真理的发现上.而定理的发现以及定理的理解应用才是最重要的”一个被烧
25、伤的儿童惧怕火焰，这种疼痛的后果比有关热力性质的博学演说，更能显示正确推论的需要。数学的感悟关键是体验,数学体验可以通过数学实验（借助计算机）得以实现. 中学数学教育的目标不是培养数学家（对数学家而言，没有论证是不行的）.传统的数学教育方式,使得高深的数学知识只能被极少部分人享用,而数字时代,数学无处不在,若想实现”大家学数学,数学为大家”,这种（借助计算机）重数学体验和应用的数学教育是有效的。几点补充:(1)教师演示实验和学生独立实验有极大的区别:学生独立实验体验更深，学生独立实验时,个性得到自我表现(2)数学软件，功能越强（优点） ，开放性越强（优点是更能体现个性，缺点是容易跑题） ，使用说明越复杂（缺点） 。Java Applet， 功能有针对性， （可以被任课老师控制） ，不用学,由于交互性，个性有了自我表现的形式.（3）在必修课堂中，除了保证学生对所学的数学知识有较强的感悟外， “知其然，知其所以然“，还得培养学生的推理能力，数学智慧，否则学生会过度依赖计算机。
