1、 第二章 函数概念与基本初等函数专题 3 基本初等函数（理科）【三年高考】1. 【2017 课标 1，理 11】设 x、 y、 z 为正数，且 ，则235xyzA2 xb1.若 logab+logba= ， ab=ba，则 a= ， b= .6 【2016 高考上海理数】已知点 在函数 的图像上，则(3,9)xf1)(._)()(1xfxf的 反 函 数7 【2016 高考天津理数】已知函数 f（ x）= （ a0,且 a1）在 R 上单调递减，2(4,0log1)3ax且关于 x 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）|()|2fx（A） （0， （B） ， （C） ，
2、 （D） ， ） 23343243248 【2016 高考上海理数】已知 ，函数 .aR21()log()fx（1）当 时，解不等式 ；5a()0fxa（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围；x2()log(4)50faxa（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的0a1,t(f,1t a取值范围.9.【2015 高考四川，理 8】设 a， b 都是不等于 1 的正数，则“ ”是“ ”的 （ 3ablog3lab）（A）充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件10.【2015 高考天津，理 7】已知
3、定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记R21xmf，则 的大小关系为( )0.52(log3),log5,afbfcfm,abc（A） （B） （C） （D） caba11.【2015 高考浙江，理 18】已知函数 ，记 是 在区间2()(,)fxR(,)Mb|(|fx上的最大值 .1,（1）证明：当 时， ；|2a(,)2Mab（2）当 ， 满足 ，求 的最大值.b,|【2017 考试大纲】1.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指
4、数函数是一类重要的函数模型.2.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数 (0,1)xya 与对数函数 log(0,1)yx互为反函数.3.幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结 合函 数 的图像, 了解它 们的 变化 情况 .1232,yxyxyx【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中
5、一般以选择题和填空的形式考查.纯基本初等函数的试题，一般考查指对数式的基本运算性质.学科网【2018 年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式 , 幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以 5 种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托 ，结合运算推理，能运
6、用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托 ，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测 2
7、018 年高考继续会对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.【2018 年高考考点定位】高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.【考点 1】指数值、对数值的比较大小【备考知识梳理】指数函数 (0,1)xya，当 a时，指数函数在 (,)单调递增；当 0a1时，指数函数在(,)单调递减 .对
8、数函数 log(,)ayx，当 a1时，对数函数在 (0,)单调递增；当 a时，对数函数在(0,)单调递减.幂函数 yx图象永远过（1,1） ，且当 0时，在 (,)x时，单调递增；当 0时，在(,)时，单调递减 .【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和 1 比较；对数值往往和 0、1 比较.【考点针对训练】1. 【吉林省实验中学 2017 届高三第九次模拟】已知 ，则 的大小13213log,log0
9、abcabc、 、关系是A. B. C. D. cabacbac2. 【天津市耀华中学 2017 届高三第一次校模拟】若 ， ， ，则（ ）1ln2a0.83b132cA. B. C. D. abcacbcbc【考点 2】指数函数的图象和性质【备考知识梳理】ya x a1 00 时，y1；x 0 时，01过定点(0,1) 在(， )上是 增函数 在(， )上是 减函数【规律方法技巧】1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数 a的范围，分 a1和 0两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到
10、其图像3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解【考点针对训练】1. 【云南省民族中学 2017 届高三适应性考试（三） 】设函数 的图象与 的图象关于直线对称，且 ，则 _2 【山西省临汾第一中学 2017 届高三全真模拟】已知函数 ，则2,31xff4fA. B. C. D. 14186【考点 3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质【备考知识梳理】1对数的定义:如果 (1)0xaNa 且 ，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 axlogN 其中 叫做对数的底数， 叫做真数2对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质 ()01a且 ： 0alog ；
11、 1alog ； alogN(2)对数的换底公式:基本公式 lcb (a， c 均大于 0 且不等于 1， b0)(3)对数的运算法则：如果 ()01且 ， M， ，那么 ()aaalogMNloglN ， aaalogllNog -， naalMlog (nR)3对数函数的图像与性质a1 01 时，y0；正负 当 00 当 x1 时，y0) f(x)ax 2bxc (a0)图象定义域 (， ) (， )值域 4ac b24a ， ) ( ，4ac b24a 单调性在 x 上单调递减；( ， b2a在 x 上单调递增 b2a， )在 x 上单调递减 b2a， )在 x 上单调递增( ， b2a
12、对称性函数的图象关于 x 对称b2a【规律方法技巧】1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.【考点针对训练】1 【2017 湖南衡阳三次联考】 数学统综有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和
13、最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数 ，在2fx上取三个不同的点 ， ， ，均存在 为21,3m,af,bf,cf,fabfc三边长的三角形，则实数 的取值范围为（ ）mA. B. C. D. 0,12,20,2,2. 【2017 重庆二诊】已知函数 ，设关于 的方程 有23xfxe2210fxmfRe个不同的实数解，则 的所有可能的值为（ ）nnA. 3 B. 1 或 3 C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6【考点 5】幂函数的图象和性质【备考知识梳理】(1)定义：形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数(2)幂函数的图象比较
14、(3)幂函数的性质比较特征函数性质y x y x2 y x3 12x1y定义域 R R R0，)x|xR 且x0值域 R 0，) R0，)y|yR 且y0奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数单调性 增x0，)时，增；x(，0时，减增 增x(0，) 时，减；x(，0)时，减【规律方法技巧】1幂函数 ()yxR ，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x为自变量，指数 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在 0,上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内
15、，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【考点针对训练】1.已知幂函数 ()yfx的图象过点 2(,)，则（ ）A (1)2f B 1f C (1)2f D (1)f与 2大小无法判定2. 【2017 届湖南省衡阳市高三上学期期末考试】 已知 ：幂函数 在 上单调pmyx0,递增； ，则 是 的（ ）:21qmpqA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【应试技巧点拨】1.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的
16、和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、倍2指数函数 且 与对数函数 且 互为反函数，应从概念、图象和性(0,xya1)(0,xya1)质三个方面理解它们之间的联系与区别3明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象4.求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以
17、解决5.指数函数 且 的图象和性质与 的取值有关，要特别注意区分 与 来研(0,xya1)a1a0究6对可化为 或 形式的方程或不等式，常借助换元法解决,但应2xxbc 20xxabc注意换元后“新元”的范围7指数式 且 与对数式 且 的关系以及这两种形式的互baN(01)logaN(1,0)aN化是对数运算法则的关键8在运算性质 且 时，要特别注意条件，在无 的条件下loglnaaM(01,0)M0M应为 ( ，且 为偶数)lnaNn9.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数
18、图象与坐标轴相交，则交点一定是原点1.【2017 届河南省新乡市高三第二次模拟】设 ， ， ，则 的大小0.46a0.4log5b5log0.4c,abc关系是（ ）A. B. C. D. abcbacabca2. 【四川省师范大学附属中学 2017 届高三下学期 5 月模拟】已知函数 的定义域为 且满足fxR，则 （）,2fxffxf5ln6248logllog1f eA. B. C. D. 1303. 【云南省师范大学附属中学 2017 届高考适应性月考（八） 】若偶函数 在 上单调递减， fx,0， ， ，则 满足（ ）21log3a41log5b32c,fabfcA. B. fffff
19、fC. D. cabcba4. 【吉林省实验中学 2017 届高三上学期第二次模拟】已知 是方程 的根，1xlog2018(,)axa是方程 的根，则 的值为2x2018(,)xaa12A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 10095. 【山东省日照市 2017 届高三下学期第二次模拟】函数 为偶函数，且在2fxaxb单调递增，则 的解集为0,20fxA. B. C. D. |2x,2或 |04x4,0x或6. 【河北省 2017 届衡水中学押题卷】定义在 上的函数 满足 ，且当Rf2ff时， ，对 ， ，使得2,4x24,3,1xf gxa1,0x2,1x，则实数 的取值范围
20、为（ ）21gfaA. B. C. D. ,81,0,480,1,487. 【2017 届上海市虹口区高三 4 月二模】已知函数 ， 、 、 ，且 ，2xef12x3R120x， ，则 的值（_）230x310x123fxffxA.一定等于零 B.一定大于零 C.一定小于零 D.正负都有可能8. 【山东省枣庄市第三中学 2017 届高三全市“二调” 】已知定义在 上的函数 满足Rfx， ，且当 时， ，则 （ ）fxf1fxfx0,12log1fx3fA. B. C. D. 0129. 【四川省成都市 9 校 2017 届高三第四次联合】已知函数 （ ， 为自然对数2faxe的底数）与 的图象
21、上存在关于直线 对称的点，则实数 取值范围是xgeyxA. B. C. D. 1,e1,1,e1,e10. 【内蒙古集宁一中 2017 届高三第一次月考】设 是定义在 上的周期为 的函数，当fxR2时， ，则 _.1,x24,10,xf x32f11. 【2016 届山东省济宁市高三下学期 3 月模拟】定义在 R上的奇函数 fx满足 12ffx，且在 0,1上 3xf，则 3log54f（ ）A 32 B 2 C 2 D 2312. 【2016 届浙江省杭州市高三第二次质检】若直线 (1)xm与函数 ()log,()logabfxx的图象及 x轴分别交于 ,A三点，若 AB，则（ ）A 2ba
22、或 2 B 1ab或 3 C 1ab或 3 D 313. 【2016 届山东省枣庄市高三 12 月】2 若函数 log(0,)yx且 的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）A B C D14. 【2016 届四川南充高中高三 4 月模拟三】已知函数 2xf，若不等式230fxaf对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是 . 15. 【2016 届山东省济宁市高三下学期 3 月模拟】若函数 yfx图象上不同两点 ,MN关于原点对称，则称点对 ,MN是函数 yfx的一对“和谐点对” （点对 ,N与 ,看作同一对“和谐点对” ） ，已知函数 2,04xef，则此函数的“和谐点对”有（ ）A3
23、 对 B2 对 C1 对 D0 对【一年原创真预测】1. 已知函数 是奇函数，则方程 的根为（ ）1log(2),0(),axfx ()2gxA B C. ， D ，32631632. 设 ， 是不相等的两个正数，且 ，则 的取值范围为（ ）st lnlasttstsA. B. C. D.(,1)(,0)(,)(1,)3. 已知函数 ，若命题：存在 (-,2，使 0 为假命题，则实数2()+fxa12,x12()fxf的取值范围为（ ）aA B C D1,0)21,0)(,)21(,21,)24. 函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 ，满足 且当 时，fxRxR0fxf， x_.133(log8)4ff， 则5. 已知函数 |2|)x，则不等式 )3(1ln(2fxf的解集为 _.
