1、6 常微分方程的数值解法、 一阶微分方程初值问题的数值解要求微分方程 yxf,d在初始条件 0下的数值解，就是要在解存在的区间的一系列点 xxn012 上从初值y 0出 发，逐个求出 的近似值 .)(iyiy改进 的欧拉方法（预报校正法） 计算公式为 )2(,2 10110 nnn yxfyfhyx式中y n表示y(x n)的近似值， 表示步长.这里截断误差为iixhRO3这个方法中，(1)式用折线法提供初值，称为预报公式.(2)式用梯形法给出较精确的值，称为校正公式.合称预报校正公式.龙格 -库塔方法 计算公式为 ykkn112346式中 hfxykkfxykhknnn1213243,截断误
2、差为 R=O(h 5)手算时按下表自上而下进行. mxmyhfkikx0 hxh021y0 3021kyk613004 23 10021,)(,)(kyhxfkkfyxk)(2341阿达姆斯方法1 内插公式 yhfxyfxyfxyfxynnnnn 11 1224995,这是关于 的隐式方程，只要h比较小，可用迭代法求解.2 外推公式 yfxyfxyfxyfxynnnnn 1 12324559379,这是关于y n+1的显式方程，只要知道前几点的值，就可从公式中直接算出y n+1.3 预报校正公式 hfxyfxyfxyfxyynnnnn 10 12310 122455937995,截断误差都为R
3、=O(h5)阿达姆斯方法可以单独采用外推公式计算，每算一个y n+1，只要计算一次f (x,y)的值，计算量比龙格-库塔法小，而截断误差同阶，所以 计算量小是外推法 优点之一.缺点是前几个y i值不能用此法计算，计算y 1 ,y2 ,y3需采用其他方法（一般可用 龙格-库塔法）.补充说明 1 阿达姆斯方法中，计算y n+1的值，要用到 所以称为多步法.321,nn而改进的欧拉法、龙格- 库塔法，只要用到 yn，所以称为一步法.2 一步法中途改 变步长 方便，多步法中途改变步长麻烦，因要用一步法重新算出开头几项.3 多步法 还有一个优点，即可顺便估计出截断误差.用y n+1(E)和 yn+1(I
4、)分别表示用外推和内插公式算得的值，有 xyhyxynI nnIE 15 1197209720式中 .若计算时规定的允许误差不超过，就将与nxnxy55d197201ynIE比较，如果 ，可继续计算，否则说明误差太大，应当缩小步长.若197201ynIE比 小得多，不妨将步长放大，提高计算速度.1nIE二、 一阶微分方程组初值问题的数值解这里为书写简便，只讨论含两个未知函数的微分方程组，含多个未知函数的微分方程组，计算公式类同. zyxgzf,d和初始条件 yx00,改进 的欧拉方法（预报校正法）预报公式 yhfxyzzgnn10,校正公式 yfxyzfxyzzhggnnnn 1 1012,龙
5、格 -库塔方法 计算公式为 ykkzlln112346其中 khfxyzkzlkfxylhkzllgxyllhkzlnnnnnnnnn121132243121132,243gxyln先计算 再计算y n+1,zn+1.,321lklk阿达姆斯方法的预报校正公式预报值（外推公式） 3322 1101 3322 1101 ,9,37554,9nnnnn nnnnn zyxgzyxghzff zyxzyxy校正值（内插公式） 221101 221101 ,59924, nnnnn nnnnn zyxgzyxghzffy前几个y j和z j的计算与本节一中的龙格-库塔方法相同 .三、 边值问题这里只讨
6、论二阶线性常微分方程的边值问题.(1)ybxaxfyqxpy,d2差分方法 将区间a,b 分成n等份，步长 han，分点x 0=a, x1=a+h, , xk=a+kh, ,xn=b 称为节点.把微商用差商代替，边值问题化为下面差分方程组的求解问题. yyhpykqfknykkkkn11210 22,式中y k=y(xk),pk=p(xk),qk=q(xk),fk=f(xk) ( ).上面的差分方程组可看成n+1个未知量1,2y0,y1,y2,yn 的线性代数方程组，方程个数也是 n+1.整理合并同类项，差分方程 组可改写成( )yabcydkkkkn0111,2式中 hpbqcdhfknkk
7、kk21122,这是一种特殊形式的线性代数方程组,除了可用消元法，迭代法等求解外，还可用更简便有效的方法追赶法(见第四章, 3).在应用上，还可能遇到下面形式的边界条件： 21d,yxba式中 1，2，1，2是已知常数.这时，上面差分方程组中相应于边界条件的那两个方程要换成： yhynn1012化为 初值问题的数值解 先求出初值问题ypxqyfxa0的数值解y 0(x)，再求出满足初始条件y (a)=0,y(a)=1的相应齐次方程ypxqy0的数值解y 1(x).原边值问题(1)的解可表示为 bx0011四、 小参数法当微分方程含有绝对值很小的参数时，将解写成的幂级数以求得近似解析解的方法，称
8、为小参数法.下面就常微分方程初值问题作简略介绍.给定微分方程组(1)nixtfxnii ,21,d1 假设所有 作为t的函数是充分光滑的，作为 x, 的函数是解析的，并且在 ,1nixtf=0可以展开成 的幂级数 fftxftininin,1011 系数 又都是x 1,xn的解析函数.,1)(nmitf又给定初始条件t=t0时，x i=xi()=xi(0) +xi(1) + (2)于是方程组(1)的满足初始条件(2) 的解在t与的某区域上存在，并且可以展开成 的幂级数(3)xtt niiii, ,12 而(3)的任何部分和便是 (1)的满足(2)的近似解析解.在具体计算时，只需把级数(3)代入(1) ，把两边化为的 幂级数形状，再比较系数.例 求包含小参数 的黎卡提方程 2dxt满足初始条件t=0, x=0的解.解 设 xttk0代入上述微分方程，得 kklllljjkk xttx 0000d即 1011dkkllkkxtxt令两边的同次 幂系数相等，得到 21032010ddxtxxtt另外初始条件可改写为 0xk于是又可列出 x1230 求出 xtxt02152831607 而 xtttt2528310160是所求解的近似表达式（即近似解析解）.
