1、12010 年高三立体几何二轮复习的几点建议九江县一中 邓安庆一.高考地位与考查要求：立体几何主要承载着对高中数学基本能力之一空间想象能力的考查，因而成为每年数学高考的必考内容高考对空间想象能力的考查着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力试题在突出对空间想象能力
2、考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究二.2010 年考纲对立体几何的要求1.考试内容:平面及其基本性质平面图形直观图的画法平行直线直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定三垂线定理及其逆定理两个平面的位置关系空间向量及其加法、减法与数乘空间向量的坐标表示空间向量的数量积直线的方向向量异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平面所成角向量在平面内的射影平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定和性质多面体正多面体棱柱棱锥球2. 考试要求：要求 内容了解空间
3、向量的基本定理.多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念棱柱的概念. 棱锥的概念.球的概念.理解平面的基本性质.直线和平面垂直的概念.空间向量的概念.空间向量坐标的概念.直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理直线和平面垂直的判定定理三垂线定理及其逆定理空间向量的加法、减法和数乘空间向量的坐标运算空间向量的数量积的定义及其性质.用直角坐标计算空间向量数量积的公式；空间两点间距离公式直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念直线和平面垂直的性质定理两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理棱柱的性质，正棱锥的性质. 球的性质.掌握球
4、的表面积公式、体积公式 三05-09 年江西卷立体几何考查知识点2年份 知识点 载体05 线线垂直，点到面距离，二面角，最短路径，外接球体积长方体，三棱柱，三棱锥06 内切球，最短距离，线线垂直，二面角，开放性问题 三棱锥，三棱柱07 开放性问题，线面垂直，二面角，体积问题 正方体，三棱柱08 线面垂直，二面角，开放性问题 三棱锥，球09 内切球，三棱柱体积，面面垂直，线面角，点到面距离 三棱锥，三棱柱，四棱锥四二轮复习中几点建议：1.建议在二轮训练中要有针对性一轮复习与二轮复习有着明显的不同，一轮复习要求的是知识点的全面铺开，面面俱到，重基础。而二轮复习对知识讲解、练习检测等内容的科学性，针
5、对性要求较强，要使模湖的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的整理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架对重要和常考的知识点要做到一个知识点多种解法，举一反三。例：如图，三棱锥 P-ABC 中，PC平面 ABC，PC =AC=2，AB=AC，D 是 PB 上一点，且 CD平面PAB.求异面直线 AP 与 BC 所成角大小.ABCDPC ABDEP解：由已知可得 AB平面 PCB,方法一：（平移法略解）过 A 作 BC 的平行线 AE，连接 PE，CE，角 即为所求的角P可得PAE =600.方法二：（坐标法略解）以 C 为原点建立坐标系可得 AP 与 BC 所成角为 600.方法三
6、：（向量法） cos,PB()()2ABCABC而 = ; = ，所以AP2B21s2方法四：（利用公式 求解）PC 为平面垂线，PA 为平面斜线，CA 为 PA 在平面内射1cosco影，BC 为平面内任一条直线。所以 PA 与 BC 所成角为 ，PA 与 AC 所成角为 ，1AC 与 BC 所成角为 ，所以很容易得出212coscos2以上四种方法从不同角度解决了异面直线所成角问题，起到举一反三作用。在立体几何的其它方面，3如线面所成角、二面角等问题上我们也可以采取这样方法解决相应问题。2.建议关注图形的割补问题在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一
7、目了然的作用。例1、如图1，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、 AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）A. B. C. D.090604503分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。如图1，只要AC的中点G，连EG，FG，解EFG即可.应该是情理之中的事。若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已.解：如图 2，把正三棱锥 S-ABC 补成一个正方体 ，1AGBHCS异面直线 EF 与 SA 所成的角为 ,故选 C1/,EFA0145例 2、如图 3，已知三棱锥 PABC，则三棱锥 PABC 的4,10,2PBCC体积为（ ）A.40
8、B.80 C.160 D.240解：如图 4 所示，把三棱锥 PABC 补成一个长方体 AEBGFPDC，易知三棱锥 PABC 的各边分别是长方体的面对角线.，则由已知有：不 妨 令 E=x,ByAz，从而知221036,8,104zy 416806801PABCEGFPDCAEBCGBPDCAFEBGFPDCAEBVVVV另外，在市二模考试中的立体几何试题中，其中解法二就是将不规则图形补成有一条侧棱垂直底面的三棱锥，从而到底简化计算的目的。3.建议对新教材中新增加内容进行关注。新教材中的立体几何与我们传统的立体几何相比，发生了一定的变化。其中在必修 2 学习的立体几何初步主要是依托三视图来提
9、升学生空间的想象力。所以对三视图的问题我们也要引起一定的注意。例如：（2008 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影7是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 和 的线段，则6 ab的最大值为( )ab4A. B. C.4 D.232 52分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的长宽高分别为 ，,mnk由题意得 ， ，227mnk26mk1n， ，所以 ，1ka1b2(1)()ab28ab22()8b当且 时取等号4点评：本题是课标高考中考查三视图
10、的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决4.建议加强对向量公式的理解用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。利用向量可以解决立体几何中点、线、面的各种位置关系问题。但在具体问题当中有许多我们需要注意的问题。如已知二面角 分别为面 的法向量，则二面角的平面角 的大小与两个法向量所成,lnm, 的角相等或互补。即 。但如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的n或关系。我们通常有两种方法：(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由
11、法向量的成的角求之。(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。又如直线和平面所成的角，我们用向量求解的时候，法向量和直线所成的角与直线与平面所成角的关系都是我们需要引起注意的问题，学生很容易在这里犯错误。例：已知四棱锥 中，底面 是矩形，PABCDAB分别是 的中点。PA平 面 ， 1,2,EF,PD求证： ；/FE平 面求 与平面 所成角的大小；C求二面角 的大小。D5解：以 为原点，如图五所示，建立直角坐标系.A则 。10,2,0,10,0,12BCDFEP取 的中点 ，连结PO,22EAO/AFE又 ，,CAFP平 面 平 面/P平 面由题意可得 ，设平
12、面 的一个法向量是 。2,1ABCD0,1PAcos,ABCP即 所成角的大小为 。直 线 与 平 面 6arcsin设平面 的一个法向量为EC,.1,01,0mxyzPEC则 0,0,.mPxzy可 得 令 则由可得平面 的一个法向量是 。ABD0,1A。13cos,Pm所以，二面角 的大小为 。ECarcos3注意：在第二问中求出 6cos, ,PAC6而 所成角的大小为 。PCABD直 线 与 平 面 6arcsin5.建议在训练答题时，要求学生理据充分，规范答题.从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.如：三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑,应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直另外通过计算证明线线垂直也是常用的三垂线定理及其逆定理的本质就是线面垂直，使用时务必加上“线面垂直”.又如：立几中凡涉及平面几何的问题，一定严格按照初中平面几何的证明要求，不能跳步骤.在立几中，四边相等的四边形为菱形，这样证明不行，必须先证共面或平行四边形.正方体、棱柱等有哪些可直接用而不须交代证明的性质.
