1、一元二次不等式及其解法典型例题透析类型一：解一元二次不等式例 1. 解下列一元二次不等式（1） ； （2） ； （3）250x240x2450x思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为 2(5)4105所以方程 的两个实数根为： ，x10x25函数 的简图为：y因而不等式 的解集是 .250x|05x方法二： 或()05x解得 或 ，即 或 .5x05x因而不等式 的解集是 .2|（2）方法一：因为 ，0方程 的解为 .24x12x函数 的简图为：y所以，原不等式的解集是 |2x方法二： （当 时， ）24()0xx2()0所以原不等式的解集是
2、|x（3）方法一：原不等式整理得 .2450因为 ，方程 无实数解，02450x函数 的简图为：2y所以不等式 的解集是 .2450x所以原不等式的解集是 .方法二： 22()10x原不等式的解集是 .总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当 时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第 2、3 小题） ；当0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷， （如第 1小题）.03. 当二次项的系数小于 0时，一般都转化为大于 0后，再解答.举一反三：【变式 1】解下列不等式(1) ；(2) 23x236x(3) ； (4)
3、 .4100【答案】（1）方法一：因为 2(3)4()25方程 的两个实数根为： ，0x12x函数 的简图为：2y因而不等式 的解集是： .230x1|2xx或方法二：原不等式等价于 ,21)(0（ 原不等式的解集是： .|x或（2）整理，原式可化为 ,236因为 ,0方程 的解 ， ，2x13x231x函数 的简图为：236yx所以不等式的解集是 .3(1,)（3）方法一：因为 0方程 有两个相等的实根： ，24x12x由函数 的图象为：1yx原不等式的的解集是 .12方法二： 原不等式等价于： ,2(1)0x原不等式的的解集是 .（4）方法一：因为 ，方程 无实数解，023x由函数 的简图
4、为：y原不等式的解集是 .方法二： ，223(1)0xx 原不等式解集为 .【变式 2】解不等式： 266【答案】原不等式可化为不等式组，即 ，即 ，2x20x(4)301x解得 3410x或原不等式的解集为 .|314xx或类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例 2. 不等式 的解集为 ，求关于 的不等式20mn(,5)x的解集。210nxm思路点拨:由二次不等式的解集为 可知：4、5 是方程 的二根，故(,)20xmn由韦达定理可求出 、 的值，从而解得. n解析：由题意可知方程 的两根为 和20xmn4x5由韦达定理有 ，454 ，9n 化为 ，即210x29120910x，解得
5、，()5x故不等式 的解集为 .2nmx(,)4总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式 1】不等式 ax2+bx+120的解集为x|-30对一切实数 x恒成立，求实数 m的取值范围。思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为 R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当 m2+4m-5=0时，m=1 或 m=-5若 m=1，则不等式化为 30, 对一切实数 x成立，符合题意。若 m=-5，则不等式为 24
6、x+30，不满足对一切实数 x均成立，所以 m=-5舍去。(2)当 m2+4m-50 即 m1 且 m-5 时，由此一元二次不等式的解集为 R知，抛物线 y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与 x轴无交点，所以 ，0)5m4(12)(60542即 ， 10； （3）x 2-(a+1)x+a0，即 a2或 a1时，原不等式的解集为x|11或 -10时，若 ， 即 时， ；210a， 210a),12,(ax若 ， 即 时，xR； ， 若 ， 即 时， .， ),(x当a0时，则0， .)1,1(aa0， 即 -10【答案】若 a=0，原不等式化为-x+10，解集为x|x0，即 时，方程 有两个不等实数根4012xa， ，ax21x2当 时，函数 的图象开口向上，401)(2xaf与 x轴有两个不同的交点，且 ，其简图如下：2所以，此时不等式 的解集为012xa；,41241,a当 a0时，函数 的图象开口向下，1)(2xaf与 x轴有两个不同的交点，且 ，其简图如下：2所以，此时不等式 的解集为 ；012xa a241,1综上所述：a0时，原不等式解集为 ；a24,a=0时，原不等式解集为 ；(,1)时，原不等式解集为 ；410a ,24124, aa时，原不等式解集为 ；),(),(时，原不等式解集为实数集 R.41a
