1、高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？方法一：定义法对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个值 12,x（1）当 时，都有 ,则说 f(x)在这个区间上是增函数；12x12()fxf（2）若当 时，都有 ,则说 f(x) 在这个区间上是减函数。()例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。要证明函数 f（x）在定义域内是减函数，设任意 ，则1212,xRx且， ，322121211()()fxf x因 为 10所 以且在 与 中至少有一个不为 0，不
2、妨设 ，那么0x， ，故 在 上22211()4xx12()ff所 以 ()fx,)为减函数。方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数 f(x)、 g(x)在区间 B 上具有单调性，则在区间 B 上有：1. f(x)与 cf(x)当 c0 具有相同的单调性，当 c 0 具有相反的单调性；2.当 f(x)、g(x) 都是增(减) 函数，则 f(x)g(x)都是增( 减)函数；3.当 f(x)、g(x) 都是增(减) 函数，则 f(x)g(x)当两者都恒大于 0 时也是增( 减)函数，当两者都恒小于 0 时也是减 (增)函数；例如，已知 f（x）在
3、R 上是减函数，那么-5f（x）为_函数。这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数 yf g(x)满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 tg(x)，则三个函数 yf(t)、tg(x)、yf g(x)中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3 ）如果 f(x)在区间 D 上是增（减）函数，那么 f(x)在 D 的任一子
4、区间上也是增（减）函数。例如，求函数 y=log4(x24x+3)的单调区间。解：设 y=log 4u,u=x24x+3.由u0,u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为 x1 或 x3.当 x(，1)时，u=x 24x+3 为减函数，而 y=log4u 为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当 x(3，)时，u=x 24x+3 为增函数 y=log4u 为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.方法四：图像法画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。例如，画出函数 图象并写出函数的单调区间。2|1yx解： 即 2(0)2(1)(0)xy如图所示，单调增区间为 ，单调减区间为(,1,和 ,1,)和方法五：导数法函数的单调性与导数的关系：在某个区间 内，(,)ab如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增，()0fx()yfx如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减。例如，求函数 的单调区间。32)(4xf解：函数 的定义域为 R，x xxf )1(4)(4令 ，得 或 0)(xf01x1函数 的单调递增区间为（1，0 ）和 ；),(令 ，得 或 ，)(xf x函数 的单调递减区间为 和（0，1 ） ),(
