1、20113564 胡骐薪 工商 1112微分方程的基本应用微分方程是数学的重要分支, 用微分方程来刻画许多自然科学、经济科学甚至社会科学领域中的一些规律,这是微分方程应用的重要领域,也是其发展的动力.在这里我重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问题的例子,从中我们可以了解到微分方程用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤.微分方程是与微积分一起形成发展起来的重要数学分支,已有悠久的历史,早在 1718 世纪,牛顿、莱布尼兹、贝努里和拉格朗日等人在研究力学和几何学中就提出了微分方程 【1,2】 .随着科学的发展,它在力学、电学、天文学和其他数学物理领域内的应用不断获得成功,有力地推动了这些学
2、科的发展,已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具.如今,微分方程仍继续保持着进一步发展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中,许多实际问题可以通过建立微分方程模型得以解决.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的. 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律. 随着微分方程的理论的逐步完善，只要列出相应的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支.
3、 事实上，大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解. 当然，这个近似解的精确程度是比较高的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等. 这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等，其中，积分因子法尤为重要，本论文主要讨论积分因子存在条件及其解法，通过积分因子使常微分方程化为全微分方程形式来求解.微分方程在科学技术和实际生活中都有着广
4、泛的应用。应用微分方程解决实际问题,其实就是建立微分方程数学模型,通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律.应用微分方程解决具体问题的主要步骤:(1)分析问题,将实际问题抽象,设出未知函数，建立微分方程,并给出合理的定解条件;(2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由方程讨论解的性质;(3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律.微分方程的应用举例几何问题1.等角轨线我们来求这样的曲线或曲线族,使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线轨线已知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时,等角轨线就轨线正
5、交轨线.等角轨线在很多学科（如天文,气象等）中都有应用.下面就来介绍等角轨线的方法.首先把问题进一步提明确一些.设在（x,y）平面上,给定一个单参数曲线族（C）: 求这样的曲0,cyx线 ,使得 与(C)中每一条曲线的交角都是定角 .ll 设 的方程为 = .为了求 ,我们先来求出 所对应满足的微分1y)(x)(1xy)(1方程,也就是要求先求得 , , 的关系式.条件告诉我们 与（C）的曲线相 l交成定角 ,于是,可以想象, 和 必然应当与（ C）中的曲线 = 及其切1y y)(x线的斜率 有一个关系.事实上 ,当 时,有y2kytan1或1ky当 = 时,有21y又因为在交点处, = ,于
6、是,如果我们能求得 , , 的关系)(xy1 x1y0yF采用分析法.设 = 为（C）中任一条曲线,于是存在相应的 C,使得y)(x0,cxy因为要求 ,y, 的关系,将上式对 x 求导,得x1y, xyccyyx这样,将上两式联立,即由0, ycxcyxy消去 C,就得到 所应当满足的关系yx,0,yxF这个关系称为曲线族（C）的微分方程.于是,等角轨线（ ）的微分方程就是201,kyxF而正交轨线的微分方程为,1yx为了避免符号的繁琐,以上两个方程可以不用 ,而仍用 y,只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.为了求得等角轨线或正交轨线,我们只需求上述两个方程即可.例 1 求直线束 的
7、等角轨线和正交轨线.cxy解 首先求直线束 的微分方程.将 对 求导,得 =C,由ycyx消去 C,就得到 的微分方程cxyxd当 时,由（2.16）知道,等角轨线的微分方程为2xydk1或 yyx及 221yxdkyxd即221xydkyxd积分后得到 ckyxlnartln212或 xyceartn212如果 = ,由（2.17）可知,正交轨线的微分方程为2xyd1即 yx或 0d故正交轨线为同心圆族 .22cyx例 2 抛物线的光学问题在中学平面解析几何中已经指出,汽车前灯和探照灯的反射镜面都取为旋转抛物面,就是将抛物线绕对称轴旋转一周所形成的曲面.将光源安置在抛物线的焦点处,光线经镜面
8、反射,就成为平行光线了.这个问题在平面解析几何中已经作了证明,现在来说明具有前述性质的曲线只有抛物线,由于对称性,只有考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线 ,如图,loyxATMRN以旋转轴为 Ox 轴,光源放在原点 O(0,0).设 的方程为 y=y(x,y).由 O 点发l出的光线经镜面反射后平行于 Ox 轴.设 M(x,y)为 上任一点,光线 OM 经反射后为 MR.MT 为 在 M 点的切线,MN 为 在 M 点的法线,根据光线的反射定律,有l lOMN=NMR从而tanOMN=tanNMR因为 MT 的斜率为 ,MN 的斜率为- ,所以由正切公式,有y1ytanOMN= , tanNM
9、R=1xy1y从而=-yx即得到微分方程+2x -y=02由这方程中解出 ,得到齐次方程y=-y1)(2yx令 =u,即 y=xu,有xy=u+dxu代入上式得到=u221)(分离变量后得 221)(udxd令 1+ 上式变为 .积分后得2tuxtd1ln xCtln1或 .两端平方得12xcu221xcu化简后得 xc2以 .这是一族以原点为焦点的抛物线.22cxyxu代 入 ， 得2动力学问题动力学是微分方程最早期的源泉之一.我们都知道动力学的基本定律是牛顿第二定律 maf这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度 a,a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就
10、在于找到外力 f 和位移对时间的导数速度的关系.只要找到这个关系,就可以由 列出微分方程了.maf在求解动力学问题时,要特别注意力学问题中的定解条件,如初值条件等.例：物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,在速度不太大的情况下,空气阻力可看做与速度的平方成正比试证明在这种情况下,落体存在极限速度 .1v解 设物体质量为 m,空气阻力系数为 k,又设在时刻 t 物体下落的速度为 v,于是在时刻 t 物体所受的合外力为（重力-空气阻力）2kvmgf从而,根据牛顿第二定律可得出微分方程2dt因为是自由落体,所以有0v tvdkmg002积分得 tkvgln21或mkgtvg2ln解出
11、 v,得 122mkgtkgtev当 时,有t1livkgvt 据测定, ,其中 为与物体形状有关的常数,为介质密度,s 为物体在sk地面上的投影面积.人们正是根据公式 ,来为跳伞者设计保证安全的降落伞1limvkgvt 的直径大小的.在落地速度 ,m, ,与 一定时,可定出 s 来.13.流体混合问题中学代数中有这样一类问题：某容器中装有浓度为 的含某种物质 A 的液1c体 V 升,从其中取出 升后,加入浓度为 的液体 升,要求混合后的液体的浓1v2c2v度以及物质 A 的含量.这类问题用初等代数就可以解决了. 但是,在实际中还经常碰到如下的问题：如图,容器内装有含物质 A 的流体.设时刻
12、t=0 时,流体的体积为 ,物质 A 的质0V量为 .今以速度 （单位时间的流量）放出流体 ,而同时又以速度 注入浓度0x2v 1v为 的流体,试求时刻 t 时容器中物质 A 的质量及流体的浓度. 这类1c问题称为流体混合问题.它是不能用初等数学解决的,必须用微分方程来计算.1v2v2c1c首先,我们用微元发来列方程.设在时刻 t,容器内物质 A 的质量为 x=x(t),浓度为 ,经过时间 dt 后,容器内物质 A 的质量增加了 dx.于是,有关系式2c dtvcdtvctdx2121因为 tvx2102代入上式有 dtvxvcdx2101或 tvxvcdt2101这是一个线性方程.求物质 A
13、 在时刻 t 的质量的问题就归结为求方程满足初始条件 x(0)= 的解的问题.0x例: 某厂房容积为 45m15m6m,经测定,空气中含有 0.2的 .开通通风2CO设备,以 360 的速度输入含有 0.05的 的新鲜空气,同时又排出同等数sm3 2CO量的室内空气.问 30min 后室内所含 的百分比.2解 设在时刻 t,车间内 的百分比为 x(t) ,当时间经过 dt 后,室内的该变量为2CO45156dx=3600.05dt-360xdt于是有关系式4050dx=360(0.05-x)dt或 dtxdx05.4初值条件为 x(0)=0.2.将方程分离变量并积分,初值解满足 txtx02.
14、05求出 x,有X=0.05+0.15 te45以 t=30min=1800s 代入,得 x0.05.即开动通风设备 30min 后,室内的 含量2CO接近 0.05,基本上已是新鲜空气了.4.变化率问题若某未知函数的变化率的表达式为已知,那么据此列出的方程常常是一阶微分方程.例：在某一个人群中推广技术是通过其中已掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为 N,在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 ,在任意时刻 t 已掌握新技术0x的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例系数 k0,求 x(t).解 由题意立即有 0,xNx
15、dt按分离变量法解之, ,即kxkNdtx1积分并化简的通解 kNtcex1由初值条件得特解 kNtexx0总结：通过以上几个简单的例子，我们发现用微分方程解决一些实际问题其实很方便，也很普遍，所以在以后的学习中，除了学习必须的理论与方法外，更应该加强理论与实际的联系，将学习的知识更好的用于解决实际问题中.参考文献1 欧阳瑞,孙要伟.常微分方程在数学建模中的应用J.宿州教育学院学报,2008,11(2)2 朱思铭 王高雄 常微分方程M,第三版 高等教育出版社 2006. 3 东北师范大学微分方程教研室.常微分方程,第二版.高等教育出版社.20054 蔡燧林,常微分方程,第二版.武汉大学出版社.2003.
