1、I泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要内容，集中体现了微积分中“逼近法”的思想，在理论分析和实际应用中经常涉及。本文首先阐述了泰勒公式的定义和基本内容，然后在基本概念的基础上举例实证，探讨了泰勒公式在求极限，级数收敛，定积分，近似计算，根的存在性，函数的凹凸性及拐点，行列式计算这几个方面的应用与技巧。通过这几个方面的研究，使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使一些问题得到更好的解答。关键词：泰勒公式；导数；极限；近似计算Taylor Formula and It”s ApplicationsAbstract:Taylor Formula is a very importan
2、t content of mathematical analysis, it can intensively embody the soul of “approximation“ of calculus, and it is extensively applied in the theoretical analysis and practical application. Firstly, this paper states the definition and primary content about it, then discusses its applications and skil
3、ls in some aspects by enumerating examples basing on the concept, such as limitation, series convergence, definite integral, approximate calculation, existence of roots, concavity and convexity of function, flecnode of function, determinant calculation. Through the study of the aspects above, this p
4、aper aims to form the special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.Keyword: Taylor formula;derivative;limit;approximately considerationsII目录 1 引言 （1） 2 泰勒公式的基本理论 （1）2.1 泰勒公式的定义 （1）2.2 泰勒公式的类型 （2）3 泰勒公式的应用 （4）3.1 利用泰勒公式判断级数敛散性 （4）3.2 利用泰勒公式求极限 （5）3.3 利用泰
5、勒公式求近似值 （6）3.4 利用泰勒公式证明不等式 （7）3.5 利用泰勒公式研究函数的性质 （8）3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 （9）4 结论 III（10）参考文献 （12）1泰勒公式及其应用1 引言1715 年，泰勒在其著作正的和反的增量方法中首先提出了著名的泰勒公式： nxxnfxxfxfxf )(!/)(.)(!2/)()() 00200000 当 时变称作麦克劳林公式。1772 年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，x而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。在初等函数中，多项式是最简单的函
6、数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具2 泰勒公式的基本理论2.1 泰勒公式的定义我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数
7、在点 处可导，则有f0x)()()( 000xfxf 2即在点 附近，用一次多项式 逼近函数 时，其误差为0x )()(00xfxf)(xf的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往)(需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为 ，其中 为)(0nx多项式的次数。为此，我们考察任一 次多项式nnnn axaxaxp )()()()( 0202010 逐次求它在点 处的各阶导数，得到0 ,!)(,!)(,)(,)( 02010 nnnnn xpxpxx 即 !)(,!2)(,!1)(),( 00000 naaxpannn 由此可见，多项式 的各项系数由其在点 的各阶导数
8、值所唯一确定。n 0x对于一般函数 ，设它在点 存在直到 阶的导数。由这些导数构造一个f0xn次多项式n 200000 )(!)(!1)( xfxffxTn.0)(nn称为函数 在点 处的泰勒多项式， 的各项系数 称f0x)(xTn ),21(!)0( nkxfk为泰勒系数。2.2 泰勒公式的类型1 带有佩亚诺余项型的泰勒公式：若函数 在点 存在直到 阶导数，则有)(xf0n 2000)(!)()( xfxfxf3).()(!000)( nnn xxf 2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式泰勒定理 若函数 在 上有 阶的连续导函数，在 内存在 阶导fba,n),(ba)1(n函数，则对任意的 ，必
9、存在一点 ，使得.0x, 2000)(!)()( xfxff,)1(! 1000)( nnnfx（1） 其中 称.10),(0x 10)1()!nnnxfxR为拉格朗日型余项。3 带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式在（1）式中设 ，有0x nxfxfff !)0(!2)0()()( ).1(,)!1(nnxf下面是 5 个常用的麦克劳林公式,)!1(!21nxnx ee.,0,)!12(cos)!12()!53sin 2 nnnxxxx ,10（2）4,)!2(cos)1!2()!421cos nnnxxxx ,10,)1()(!)(!32)1ln( 11 nnnxxxx ,0 na xaxax
10、 !)()1!2)1(1)( ,)()(1naxn1,0x3 泰勒公式的应用泰勒公式及其几个常见函数的展开式，阐述了泰勒公式在判断级数敛散性，求行列式的值，求近似计算，证明不等式，求函数极限等方面的应用。下面从讨论级数敛散性、计算极限、证明不等式、研究函数性质、证明不等式等几个方而来探讨泰勒公式的应用。3.1 利用泰勒公式判断级数的敛散性判断级数的敛散性，最主要的问题是求出级数的极值 ，且希望极值k，利用泰勒公式就可以较容易的解决。k0例 1：讨论级数 的敛散性11)sin(nna解：由泰勒展开式（2）得：nansi4311n522316n选取比较级数 123nb因为 6116limli232
11、nbann而级数 收敛，所以由级数敛散性判别定理 1 知123nb级数 收敛。11)si(nna3.2 利用泰勒公式求极限有时候利用洛必达法则求极限会遇到比较复杂的运算，步骤也多，而利用泰勒公式来求极限，则会简单得多。例 2：假设 ，并且 )10)(!)( hxfnxfhfxf ， 0)(1fn证明： lim0n证：按题设有 )(!)(hxfnxfhfxf 其中 10又因为 存在，故)(xfn )(!)(hxfnxfhff )()!1(1(nf6所以 )()!1(!)(! 1()() nnnn hxfhxfhxfh 从而有 1)1()()( )(! nnnn hxfhxfxf注意到 0)()(
12、)(lim1)0 xfhfxf nnn上式两边去极限可得 1)(1li0nxfn3.3 利用泰勒公式求近似值当要求的算式不能得出它的准确值，只能求得靠近似值，这时候，泰勒公式是解决这种问题的好方法。例 3：当 充分小时，推导近似公式 ，x xtan解：因为 在 邻域内任意阶可导，故由带佩亚诺余项的泰勒公式，可得tan0)(t 3321xa另一方面，因为 在 邻域内任意阶可导，且在该邻域内cos,i。)010(cos处 连 续在 xx由带佩亚诺余项的泰勒公式的唯一性得 )(!213cosinta3xxx对比上面两个式子，由泰勒公式的唯一性得7)(!213)(333210 xxaxa 所以 )(!
13、3)(!21)( 3333210 xxxaxa 即有 )(!3)()!2()!2( 3313010 xxaxax 可得 ， ， ， 011!3621!13a于是 )(tn3xx由此可见，当 足够小时，有 。xa3.4 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式的各种展开式，可以比较容易的证明不等式 。 例 4：假设 是可微分二次的函数，且 ),(xf )(supxfMkxk，证明不等式)2,10(k .201M证： 由泰勒公式对任何 都有h（3）21)()()( hfxfxf （4）2)()()(ffhf 其中 位于 与 之间， 位于 与 之间1x2xh（3）式减去（4）式得到 )()2)()()(
14、21ffxfxfhf 8即 )()2)()()2 21ffhxfhfxf 所以 )()(xffh )()(2)( 21ffhfhf 20M即 02)(2hxf上式对任何 都成立，故左边二次式的判别式必小于等于 0，h即 )2(4)(0Mxf即 200)(f由 的任意性有x。201M3.5 利用泰勒公式研究函数的性质在利用泰勒公式研究各种函数的性质时，往往都要用到泰勒展开式。例 5：设 为一 次多项式，若 皆为正值。证明 在)(xpn)(,)(,apapn )(xp上无根。,a证：在题设条件下，假定 ，使得 ，注意多项式 处处),(0x0)(x)(x任意阶可导，故存在 ，使得 ，于是，由泰勒公式
15、，在H,0Ha上，有,a nnaxpaxpaxp )(!)(!1)( )(9注意 ，故),(0Hax),21(,0)(0nkaxnaxpxpp )(!)(0 中 ，所以任一项)(,!)0( kkaxp0)(!0)(kk ),21(n即 ，假定有误，由 的任意性及 知 在 上0)(xp),0ax0(ap)(x),a无根。3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式例 6：将多项式 表为 的幂的多项式32531)(xxp)1(解：令 ，则 ，代入 表达式中得x)p32)()()() 65103132 35故 关于 的幂的多项式为)(xp)32)1()(1(3xx其实泰勒公式的应用远远不止这些，在这
16、里只能说明一部分，也证明了泰勒公式的应用面之广。但是，在某些特定的情况下，使用泰勒公式才能做到方便和快捷，例如在证明不等式时，当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合不等式时，作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明简单不少；还有就是利用泰勒公式求近似值时，当 离 越来越远，效果会越来越差，甚x0至产生完全错误的结果。所以，泰勒公式不是万能的，利用泰勒公式的时候要对具体的情况进行分析，否则可能会得到相反的结果。104 结论在对函数的某些形态进行理论分析时，泰勒公式大有用武之地，是最有力的数学工具之一，在数学的各个分支中等都有广泛的应用，包括求极限，级数的敛散性，近似值，不等式，函数的性
17、质和初等函数的幂级数展开式等。从近似计算角度来说，泰勒公式对 附近的 有较高的精度，在求极限方面节省的0x很多步骤和时间。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2005，134-141.2吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导书M.北京：高等教育出版社，2004.158-163.3刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义M. 北京：高等教育出版社，1960，226-235.4萧治经 .D 语言数学分析M.广州：广东高等教育出版社，2004，115-120.5廖良文，许宁.数学分析习题全解M. 合肥：安徽人民出版社，2005，286-316.6陈纪修，於崇华，金路.数学分析M. 北京：高等教育出版社，1999，192-207. 7李惜雯 .数学分析例题解析及难点注释M. 西安：西安交通大学出版社，2004，228-247.8朱匀华，周健伟，胡建勋.数学分析的思想方法M. 广州：中山大学出版社，1998， 327-330.119洪毅 .数学分析 M.广州：华南理工大学出版社，2001，247-256.10张筑生 .数学分析新讲（第二册）M.北京：北京大学出版社， 1990，17-40.11邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程M.北京：高等教育出版社， 1999，237-247.
