1、高考数学串讲（三） 直线 圆 圆锥曲线一，基础知识椭圆 双曲线 抛物线定义 与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程21xyab(或 ),221xyab(或 )22ypx(或 )参数方程cosinxayb(或 )cosasectanxyb(或 )sec2xpty(或 )2tp焦点 或,0(, 或,0(,或,0(,正数 a,b,c,p 的关系22cab( )22cab( ),离心率 1ea1ea1e准线 (或 )2xc2yc(或 )2xc2yc(或 )px2y渐近线 (或 )byax焦半径10PFaex2(或 10ey)2PFa10
2、PFe2x( ,10eya),2PF(点 在左或下支)02pPFx(或 )y统一定义 到定点的距离与到定的距离之比等于定值 的点的集合,(注:焦点要与对应准线配对使用)二，跟踪训练1， （05 广东）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 抛 物 线 y=x2 上 异 于 坐 标 原 点 O 的 两 不 同 动 点A、 B 满 足 AO BO（如图 4 所示）.（）求AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.O（A） BCDxy2， （05 广东）在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为
3、2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图 5 所示）.将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上.（）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值.3,(04 全国 I)双曲线 C： （ ）与直线 ： 相交于两个不同21xya0al1xy的点 A，B（I）求双曲线 C 的离心率 的取值范围；e（II）设直线 与 轴的交点为 P，且 ，求 的值。ly512ABa4， （05 重庆）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左，右焦点分别为 的左，1C214xy2C1C右顶点，而 的左，右顶点分别是 的左，右焦点。21（I）求双曲
4、线 的方程；（II）若直线 ： 与椭圆 及双曲线 都恒有两个不同的交点，且 与l2ykx1C2 l2C的两个交点 A 和 B 满足 （其中 O 为原点） ，求 的取值范围。6k5， （04 广东）设直线 与椭圆 相交于 A，B 两点， 又与双曲线l2156xyl21xy相交于 C，D 两点，C，D 三等分线段 AB。求直线 的方程。l三，简明提示1， （I）设 ，则消去 得 ；12(,),)(,)GxyABxy12,xy23x（II） 41 12()2AOBS，当 ，即 时，等号成立。1()x42x2x2，解：设点 落在 上的点 处，则折痕所在的直线是线段 的垂直平分线DCEAE() 的方程为
5、： E1yk点的纵坐标恒为 1，代入 得 点横坐标为 ，由： ，得k02k0k折痕的方程为： 得： （其中 ）22AEAEx1yx(II) 若折痕所在直线与 轴的交点的纵坐标大于 1，则折痕与线段 CD 有交点y若折痕所在直线与直线 的交点的纵坐标小于 0，则折痕与线段 AB 有交点x对于折痕上的点（ ， ）当 时，令 ，得： ，又 ，所以0x120kk10k即：当 时，折痕与线段 AD 有交点 k当 时，折痕与线段 DC 有交点 2当 时，令 ，得 ，又 ，所以xy235k0k23k即：当 时，折痕与 BC 的边有交点 0k当 时，折痕与线段 AB 有交点 2综合、。记折痕的长度为 fk（1
6、） 当 时，折痕的两个端点分别在 AD、BC 上30k22211fxk当 时， 有最大值 = kf43(62)（2） 当 时，折痕的两个端点分别在 AB、AD 上3222321211()kkfky设 ， ，则 2t 32()gtk23gtt（ ）2231t对 求导数，则：gt2213ttgt解 ，得 （舍去）或 ，而0t1tt2231因此： 的最大值gt22max,gtgg从而得到： ax23,1fkff（3） 当 时，折痕的两个端点分别在 AB、CD 上21221fkyk当 时， 有最大值1f综合（1） 、 （2） 、 （3） ，得，当 时， 有最大值 。23kfk2(6)3， （I）由 ，
7、得 ，有 且 ，21xya22()0axaa1，得 的取值范围为 ；221eae6(,)(2,)（II）设 ，由 ，得 ，1(,),)(0,AxyBP51APB125,(,1)xyxy有 ，得 ， ，消去 ，得 。1252271a22ax273a4， （I）设所求的方程为 ，则 ，有 ；2xyb223,1bc21xy（II）由 有两个不同解得 ，由 有两个不同解得21xyk214k2xyk且 ，由 得 ，即 或 73k216OAB23761k21352由，得 的取值范围是 。k(,)(,)(,)(,1)55，解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的方程为y=kx+b，如图所示
8、，l 与椭圆、双曲线的交点为： ),(),(),(),( 4321 yDCyBxA依题意有 ，由 得A,2156kxb22(165)(40).(kxb122506bkx2221).)ykxb由 得若 ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k 1k由2431kbx 4324213 xxxDBAC 1366140),(332(,65)1(,0)(56 242 4,3,2 bbxxCDABxki bk即由 得由得由时当 或故 l 的方程为 1y(ii)当 b=0 时，由(1)得 24,322, 1)(,560kxkx 得由 5661)(33 22412 xCDAB即由故 l 的方程为 y56再讨论 l 与 x 轴垂直的情况.设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，221,23,441ycyc2143|3|ABCDyy由，2285456即 5lx故 的 方 程 为综上所述，故 l 的方程为 、 和 。136yx2241
