1、第 1 页 共 10 页有理数复习资料知识点 1：有理数的基本概念中考要求：有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识点总结： 正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入 300 元和支出 200 元，向东 50 米和向西 30 米，零上和零下
2、 等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们6C4把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像 、 、 等的数，叫做正数.在小学学过的数，除 外都是正数.正数都大于310 0.0负数：像 、 、 、 等在正数前加上“” （读作负）号的数，叫做负数.275208负数都小于 . 既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“” ， “”号叫做它的符号.0正数前面的“”可以省略，注意 与 表示是同一个正数.3用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.譬如：用正数表示向南，那么向北 可以用负
3、数表示为 .km3km“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数.()正 整 数 自 然 数整 数 零有 理 数 按 定 义 分 类 负 整 数正 分 数分 数 负 分 数()( )正 整 数正 有 理 数 正 分 数有 理 数 按 符 号 分 类 零 零 既 不 是 正 数 ,也 不 是 负 数负 整 数负 有 理 数 负 分 数注：正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；第 2 页 共 10 页负整数和零统称为非正整数.板块一、基本概念例题讲解1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个
4、数是（ ）0既不是正数也不是负数；0是最小的自然数；0是最小的正数；0是最小的非负数；0既不是奇数也不是偶数.A.0 B.1 C.2 D.32、下面关于有理数的说法正确的是（ ） A有理数可分为正有理数和负有理数两大类. B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合C. 整数和分数统称为有理数 D. 正数、负数和零的统称为有理数板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值3、 和 是满足 0 的有理数，现有四个命题：aba 的相反数是 ； 的相反数是 的相反数与 的相反数的差；2424abab 的相反数是 的相反数和 的相反数的乘积； 的倒数是 的倒数和 的倒数的乘积其中真命题有( ) abA.
5、1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是( )A、正有理数 B、负有理数 C、零 D、不可能5、数轴上离开原点 2 个单位长度的点表示的数是_；6、有理数-3，0，20，-1.25，1.75，-12，-（-5）中，正整数有_个，非负数有_个；7、绝对值最小的有理数是_；绝对值等于 3 的数是_； 绝对值等于本身的数是_；绝对值等于相反数的数是_数；一个数的绝对值一定是_数。8、-2.5 的相反数是_，绝对值是_，倒数是_。9、平方是它本身的数是 ；倒数是它本身的数是 ；相反数是它本身的数是 ；立方是它本身的数是 。绝对值小于 4 的所有整数的和
6、是_；绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数的和是_。10、在数轴上任取一条长度为 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点19的个数为 知识点 2：比较大小比较大小的主要方法： 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小 数轴法：数轴右边的数比左边的数大 作差法： ， ， 0ab0ab0ab 作商法：若 ， ， ， ， 111ab 取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小第 3 页 共 10 页板块一、数轴法【例 1】 、 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）ab a 0 1 bA. B. C. D. 1ab1ab1a1b【例 2】 数 所对应的点 在
7、数轴上的位置如图所示，那么 与cd， ， ， A， ， ， c的大小关系 0 D CBA【例 3】 若有理数 在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ）ab，A B C D21a12ab1ba x 1a0.50-1-1.5b-2【例 4】 在数轴上画出表示 各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，12.5405， ， ， ，用“ ”；连接起来【例 5】 实数 在数轴上的对应点如图，试比较 的大小ab， abab， ， ， ， ， 0 ba板块二、代数法【例 6】 比较大小： 123【例 7】 把四个数 和 用“”号连接起来.2.371.%237， ， .【例 8】 比较 ， ， ， ，
8、的大小35820179第 4 页 共 10 页【例 9】 已知 ，则 ， ， 的大小关系是什么？01x2x1【例 10】 若 ，则 的大小关系 1am2， ，【例 11】 如果 ，请用“ ”将 ， ， ， ， ， 连接起来.10aa2a1【例 12】 若 ， ，试不用将分数化小数的方法比较 ， 的大小2078a09b ab知识点 3：运算及运算法则有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0 相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理
9、数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变. (加法交换律)ab三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)()abc有理数加法的运算技巧：分数与小数均有时，应先化为统一形式.带分数可分为整数与分数两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. (
10、)ab有理数减法的运算步骤：把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.第 5 页 共 10 页有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负
11、，并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘，都得 0.有理数乘法运算律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等. (乘法交换律)ab三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法)abc结合律)一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律)()abca有理数乘法法则的推广：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用
12、乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. ，( )1ab0两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.例题讲解板块一、有理数的加减运算1、下列各组数中，数值相等的是（ ）A 、（2）和+（2） ； B、2 2 和（2） 2；C、3 2 和（3） 2 ； D、2 3 和（2）2、两数相加，其和小于每一个加数，那么（ ）.A、这两个数相加一定有一个为零.B
13、、这两个加数一定都是负数.C、这两个加数的符号一定相同.D、这两个加数一正一负且负数的绝对值大3、计算： 21(4)321(6)9|37.492()5第 6 页 共 10 页 17(4)(51.2)811(8.5)3(6)2 5317(9)()2.5)(1)1242 434(18)(5)(.6)(18)(0)5 132|()|54.7(3.)5.6(2.1) 11(3)()3()44板块二、有理数的乘除运算1、 奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.第 7 页 共 10 页2、 计算下列各题： ；30.25.704510.332 735(1)361246 11(0.25)(
14、3.5)244 14()()1685 173()3 111()()()()496252503、计算 ； 3 112035 ； 231(4)()4 71()2(3)9 ； 11()(234560 4192()7知识点四、字母相关的运算第 8 页 共 10 页1、若 ，则 _。2,3baba2、若 则 _。,34,nmn3、若 ，则 得值是 ；若 ，则 得值是 .9x 8a4、 的最小值是 ，此时 = 。61209x5、若 a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，且 ，则 .209208207)()()(bacdba6、已知| a|=5,|b|=2,ab0，b0， ，则下面关系式中正确的是( )bA
15、、abab B、baab C、abba D、baba8、若 x0，则 等于（ ）)(xA、x B、0 C、2x D、2x9、对任意实数 a，下列各式一定不成立的是（ ）A、 B、 C、 D、22)(33)(aa02第 10 页 共 10 页10、已知 a0，且 ，那么 的值是（ ）1aA、等于 1 B、小于零 C、等于 D、大于零111、化简：34p-+()121xx-+-12、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示， ，试化简ac=acba-+知识点六：应用1、某班抽查了 10 名同学的期末成绩，以 80 分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7
16、，-10，-4，-8，+1，0，+10；，这 10 名同学的中最高分是多少？最低分是多少？，10 名同学的平均成绩是多少？2、小李上周末买进股票 1000 股,每股 20 元,下表为本周每股票的涨跌情况:星期 一 二 三 四 五每股涨跌 4 5 1 3 6(1)周三收盘时,小李所持股票每股多少元?(2)本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元?(3)已知小李买进股票时付了 1.5的手续费,卖出时需付成交额的 1.5的手续费和3的交易税,若小李在本周末卖出全部股票,他的收益如何?3、 一辆货车从超市出发，向东走了 到达小彬家，继续向前走了 到达小颖家，3km1.5km然后向西走了 到达小明家，最
17、后回到超市9.5k以超市为原点，向东作为正方向，用 个单位长度表示 ，在数轴上表示出1小明，小彬，小颖家的位置小明家距离小彬家多远？货车一共行驶了多少千米？b a 0 c第 11 页 共 10 页4、初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成 5 个队参加活动，游戏结束后，5 个队的得分如下： A队：-50 分； 队：150 分； 队：-300 分； 队：0 分； 队：100 分BCDE将 5 个队按由低分到高分的顺序排序；把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；从数轴上看 队与 队相差多少分？ 队与 队呢？5、 “十一”黄金周期间，西樵山风景区在 7 天假期中每天旅游的人数变化如下表
18、 （ 正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日人数变化单位：万人1.6 0.8 0.4 0.4 0.8 0.2 1.2（1） 若 9 月 30 日的游客人数记为 5 万人 ，则 10 月 2 日的游客人数： 万人 。（2） 请判断七天内游客人数最多的是 日，最少的是 日。（3） 以 9 月 30 日的游客人数为 0 点，用折线统计图表示这 7 天的游客人数情况：知识点七、科学计数法与有效数字知识点总结科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 ， 是整数），此种 记10na10an法叫做科学记数法例如： 就是
19、科学记数法表示数的形式520也是科学记数法表示数的形式71.1有效数字： 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字如： 有两个有效数字：2， 7 ； 有 5 个有效数字：1，2 ，0，2，0. 1.2注意：万 ，亿418常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差 别记忆方法：移动几位小数点问题比如： 要科学记数法，实际就是小数点向左移80动到 和 之间，移动了 位，故记为 661.第 12 页 共 10 页例题讲解1、上海世博会的开幕式中，烟花的燃放是美景之一，而我们是先看到烟花，再听见声音，其 原 因 是 光 的 传 播 速
20、度 大 于 声 音 的 传 播 速 度 . 在 常 温 下 光 的 传 播 速 度 约 为300 000 000m/s，声音的传播速度约为 340m/s. 将 300 000 000 用科学记数法表示为（ ）A B C D60.317301831093102、全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的 0.00003，因此珍惜水、保护水，是我们每一位 公民义不容辞的责任其中数字 0.00003 用科学记数法表示为（ ）A B C D 41354.5.3、2010 年北京市高考人数约 8 万人，其中统考生仅 7.4 万人，创六年来人数最低. 请将74 000 用科学记数法表示为（ ） A B
21、C D47.1037.41040.7150.7414、某种感冒病毒的直径为 0.0000000031 米，将 0.0000000031 用科学记数法表示为（ ） A3.110 9 B0.3110 -8 C3.110 9 D3.110 -95、某种流感病毒的直径是 0.00000008m，用科学记数法表示 0.00000008 为（ ）A B C D681058108104810知识点八：找规律1、找规律计算： ()()()234562056+-+-+-2、先阅读第（1）小题的计算过程，再计算第（2）小题；（1） 计算： 112690+解：原式=3411129090+-= （2）计算： （3）
22、1135+ 11284980+第 13 页 共 10 页3、观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 16 个图形共有 个，第 n 个图形共有 个4、观察下列等式： 根据你发现的规律，12832746,5101-=-=-解答下列问题：（1）写出第 5 个等式；（2）第 10 个等式；（3）第 n 个等式；5、 观察下面的式子：242;3135;1644， ，小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想第 14 页 共 10 页6、用代表一种运算，若 ，试求值：（1）56， （2）2（34）2ab+ =-
