1、由椭圆离心率求法探讨最大角的应用例：设椭圆 的左、右焦点分别为 ，如果椭圆上xayba210（ ） F12、存在点 P，使 ，求离心率 e 的取值范围。F129常见解法有：解法 1：利用曲线范围设 P（ x，y） ，又知 ，则cFc1200（ ， ） ， （ ， ）121122222()(),90,FcFPxyPFPcxyc ， ， ， 由 ， 知 ，则 ， 即 得将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得22 22212900acbx acbFPxa 但 由 椭 圆 的 范 围 及 可 知 ,即222 121cbacaeee可 得 ， 即 ， 且 ,从 而 得 ， 且 所 以 ， ）解法 2
2、：利用基本不等式由椭圆定义，有 ，平方后得12aPF|4228221112PFPFc|(|)|得 ca21所 以 有 ， ）e解法 3：利用最大角范围由已知可知椭圆的最大角范围为 ，所以0902sini452cea又 1e所 以 有 ， ）e21很显然第三种解法最为简单，但是什么是最大角呢？它又如何使用呢？由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形 ”，如图： 即是。当 p 为椭圆上任意一12FB点时，则当 P 在 位置时， 最大。此时在1或 12P中，2OBF22 2,sinccObaOBFea最大角还可以快速解决一些其他问题：1. 为 上的一点，则 为直角的点 有
3、_个P1204yx21PP2. 上有 4 个点 使 为直角，则 的范围是),(2m,M21Fm_总结： 002125,9cbOBF当 时 ，4当 时 ， 00212,c当 时 ，综合应用椭圆的对称性，上面的两个问题就很好解决，第一题中由于 ，故cb满足题意的 P 点有两个，第二题中由于 M 点有四个，故最大角应该大于 ，09此时 ，即cb40-,20482mm当 时 ， 有 解 得当 时 ， 有 解 得综 上 可 知 ： 或再回到开始时的例题若改为：如果椭圆上存在点 P，使 ，则离心率1260Fe 的取值范围又是多少？此时最大角范围应该 ，则06，又 ，所以 。0061sini322ca1e12e， ）
