1、2.1.2 椭圆的简单性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法：讲授法课型：新授课 教学工具：多媒体设备一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二、讲授新课：（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质
2、的，我们现在利用焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.已知椭圆的标准方程为： )0(12bayx1.对称性复习关于 x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为(x, y)；点（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为(x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(x, y) ；问题 2 在椭圆的标准方程中以y 代 y以x 代 x同时以x 代 x、以y代 y,你有什么发现?（1） 在曲线的方程里，如果以y 代 y 方程不变，那么当点 P(x,y)在曲线上时，它关于 x 的轴对称点 P(x,y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称。（2）
3、如果以x 代 x 方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？曲线关于 y 轴对称。（3） 如果同时以x 代 x、以y 代 y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？曲线关于原点对称。归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？椭圆关于 x 轴，y 轴和原点都是对称的。这时，椭圆的对称轴是什么？坐标轴椭圆的对称中心是什么？原点椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。2.范围我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中 x，y 的范围就知道了.问题 1 方程中 x、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式 2a1, 2by1即
4、x2a2, y2b2所以 |x|a， |y|b即 axa, byb这说明椭圆位于直线 x a, yb 所围成的矩形里。3.顶点研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与 x 轴， y 轴的交点坐标.问题 3 怎样求曲线与 x 轴、y 轴的交点?在椭圆的标准方程里，令 x=0,得 y=b。这说明了 B1(0,b),B 2(0,b)是椭圆与 y 轴的两个交点。令 y=0,得 x=a。这说明了 A1(a,0),A 2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点。因为 x 轴，y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点
5、。线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长|A 1A2|=2a,|B1B2|=2b (a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 |B 1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a在 RtOB 2F2 中，由勾股定理有|OF2|2=|B2F2|2 |OB2|2 ，即 c2a 2b 2这就是在前面一节里，我们令 a2c 2b 2 的几何意义。4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比 e ，叫做椭圆的离心率。因为 ac0,所以 0e1.问题 4 观察图形, 说明当离心率 e 变化时
6、,椭圆形状是怎样随之变化的 ?调用几何画板，演示离心率变化(分越接近 1 和越接近 0 两种情况讨论)对椭圆形状的影响得出结论：(1)e 越接近 1 时，则 c 越接近 a，从而 b 越小，因此椭圆越扁；(2)e 越接近 0 时，则 c 越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 ab 时，c0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。当 e1 时，图形变成了一条线段。 为什么？留给学生课后思考5.例题 例 1 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标 ,并用描点法画出它的图形.根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长 2a，短
7、轴长 2b，该方程中的 a？b？c？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质解：把已知方程化为标准方程 1452yx, 这里 a5，b4，所以 c16253因此，椭圆的长轴和短轴长分别是 2a10，2b8离心率 e ac 53两个焦点分别是 F1(3,0),F 2(3,0)，四个顶点分别是 A1(5,0) A1(5,0) A1(0,4) F1(0,4).提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图形。将已知方程变形为 254xy，根据在 0x5 的范围内算出几个点的坐标(x,y)x 0 1 2 3 4 5y 4
8、3.9 3.7 3.2 2.4 0先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性。根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；(3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性（四）练习 填空：已知椭圆的方程是 9x2+25y2=225,(1) 将其化为标准方程是_.(2) a=_,b=_,c=_.(3) 椭圆位于直线_和_所围成的_区
9、域里.椭圆的长轴、短轴长分别是_和_,离心率 e _,两个焦点分别是_、_,四个顶点分别是_ 、_、_、_.例 2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于 20,离心率等于 0.6例 3 点 ,Mxy与定点 4,0F的距离和它到直线 25:4lx的距离之比是常数 45，求点 的轨迹. （教师分析示范书写）例 4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口 ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上，片门位于另一个焦点 F2 上，由椭圆一个焦点 F1 发出的光线，经过
10、旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2。已知ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm, 求截口 ABC 所在椭圆的方程。三、课堂练习：比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？ 2936xy与21xy 2936xy与210xy（学生口答，并说明原因）求适合下列条件的椭圆的标准方程.经过点 2,0,5PQ长轴长是短轴长的 3倍，且经过点 3,0P焦距是 8，离心率等于 .8（学生演板，教师点评）焦点在 x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比.四、小结(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.五、布置作业
