1、走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析1公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果 )(xf是区间a， b上的连续函数，并且)(xF= f，那么 badxf)(= )(aF例 1计算 212错解： )(x=12)(dx= |213)1(x= |213)x+ + |2= 33+ = 69错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式
2、不清而导致错误根据微积分基本定理，相应的公式是 badxf)(=|)(baxF= )(，而不是 badxf)(= )(bF正解： 212dx= 122= |2131x= |3)(x+ (+ |)= )(33+ )( )(= 69评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误2几何意义出错我们知道，当函数 )(xf在区间a ，b上恒为正时，定积分 badxf )(的几何意义是以曲线 )(f为曲边的曲边梯形的面积在一般情况下，定积分badxf )(的几何意义是介于 x 轴，函数 )(xf的图象
3、以及直线 x=a，x=b 之间各部分面积的代数和例 2如图，函数 )(fy在区间a ，b上，则阴影部分的面积 S 为（ ）A badxf)( B cadxf)( bcxf)(C cbcdxf)( D +错解：选择答案：A 或 B 或 C错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错根据微积分的几何意义，若 0)(xf，则在a，b 上的阴影面积 S=badxf)(；若 0)(f，则在a ，b上的阴影面积 S= dxf)(正解：如图所示，在a，c 上， )(xf；在c，b上， 0；所以函数 )(xfy在区间a ，b上的阴影部分的面积 S=caxf)(+bcdxf)(，故
4、选择答案：D评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在 x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号各部分面积的代数和即为： x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积3实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等例 3模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足 2410)(tta，求火箭前 s5内的位移错解：由题设知， 50)(dtas= 502)dt= |503)(t= 341= 10，即火箭前 s5内的位移为 3
5、10错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v（t） （v（t ） 0）在时间区间a ，b上的定积分，即 s=badtv )(而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度 v，等于其加速度函数 a=a（t ）在时间区间a，b上的定积分，即 v=bat )(正解：由题设知， 0t， v， 0)(s，所以 tdv02)41()= 341t，那么 5ts= 50)(t= |5042)1(t= 32，即火箭前 内的位移为 3评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数 v（t） ，再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移
