1、3.2 双曲线的简单性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系1双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图形焦点焦距范围对称性顶点轴长 实轴长_，虚轴长_离心率性质渐近线2.直线与双曲线一般地，设直线 l：ykxm (m0)双曲线 C： 1 (a0，b0)x2a2 y2b2把代入得(b 2a 2k2)x22a 2mkxa 2m2a 2b20.(1)当 b2a 2k20，即 k 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相ba交于一点(2)当 b2a 2k20
2、，即 k 时，ba (2a 2mk)24(b 2a 2k2)(a 2m2a 2b2) 0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； 0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程 x2a2 y2b2 3为( )Ay x By2x2Cy x Dy x22 125直线 l 过点( ，0)且与双曲线 x2y 22 仅有一个公共点，则这样的直线有( )2A1 条 B2 条C3 条 D4 条6已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右x2a2 y2b2支上，且|PF 1|4|PF 2|，
3、则此双曲线的离心率 e 的最大值为( )A. B. C2 D.43 53 73题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 152 6 x2a2 y2b2的离心率 e_.8在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，且 a10，cb6，则顶点A 运动的轨迹方程是_9与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点(3，2 )的双曲线方程为x29 y216 3_三、解答题10根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点 ，且一条渐近线为 4x3y0；(154， 3)(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的
4、夹角为 . 311设双曲线 x2 1 上两点 A、B，AB 中点 M(1,2)，求直线 AB 的方程y22能力提升12设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 3C. D.3 12 5 1213设双曲线 C： y 21 (a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同的点 A、B.x2a2(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；（2）若设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 ，求 a 的值PA 512PB 1双曲线 1 (a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为x2a2 y2b2(a，
5、0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x，y)的横坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，)，其中 c2a 2b 2，且 ，离ca ba e2 1心率 e 越大，双曲线的开口越大可以通过 a、b、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围3双曲线 1 (a0，b0)的渐近线方程为 y x，也可记为 0；与x2a2 y2b2 ba x2a2 y2b2双曲线 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (0)x2a2 y2b2 x2a2 y2b23.2 双曲线的简单性质知识梳理1.标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图
6、形焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c)，F2(0，c)焦距 |F1F2|2c范围 xa 或 xa，yR y a 或 y a， xR对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点 ( a,0)，( a,0) (0， a)，(0， a)轴长 实轴长2 a，虚轴长2 b离心率 e (e1)ca性质渐近线 y xba y xab作业设计1B 2A3C 4C 5C 6B 7.133解析 a b5， ab6，解得 a， b 的值为 2 或 3.又 ab， a3， b2. c ，从而 e .13ca 1338. 1( x3)x29 y216解析 以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的中点为
7、原点建立直角坐标系，则 B(5,0)， C(5,0)，而| AB| AC|63)x29 y2169. 1x294 y24解析 所求双曲线与双曲线 1 有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程x29 y216为 ( 0)点(3,2 )在双曲线上，x29 y216 3 . 3 29 23 216 14所求双曲线的方程为 1.x294 y2410解 (1)因直线 x 与渐近线 4x3 y0 的交点坐标为 ，而 30 时，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1 ，x1 x22 k 2 k2 k2 k1，满足 0，直线 AB 的方程为 y x1.方法二 (用点差法解决)设 A(x1， y1)，
8、 B(x2， y2)，则Error!，两式相减得( x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2)12 x1 x2， ，y1 y2x1 x2 2 x1 x2y1 y2 kAB 1，21222直线 AB 的方程为 y x1，代入 x2 1 满足 0.y22直线 AB 的方程为 y x1.12.D 13解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得Error!有两个不同的解，消去 y 并整理得(1 a2)x22 a2x2 a20，Error!解得 0，0 且 e .262 2双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( ，)(62， 2) 2(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(0,1) ，( x1， y11) (x2， y21)，PA 512PB 512由此可得 x1 x2. x1， x2都是方程的根，512且 1 a20， x1 x2 x2 ，1712 2a21 a2x1x2 x ，消去 x2得 ，5122 2a21 a2 2a21 a2 28960即 a2 .289169又 a0， a .1713
