1、2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算学习目标：1了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示2掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则3正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来【学法指导】1向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并不是向量的坐标，此时 ( xB xA， y
2、B yA)AB 3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一知识导学1平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个 i， j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x， y 使得 a xi yj，则 叫做向量 a 的坐标， 叫做向量 a 的坐标表示(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x， y)，则 ，若 A(x1， y1)，OA B(x2， y2)，则 AB 2平面向量的坐标运算(1)若
3、a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b ，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若 a( x， y)， R，则 a ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.二探究与发现【探究点一】平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i、 j 作为基底对于平面内的任一向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x， y，使得a xi yj.我们把有序数对( x， y)叫做向量 a 的坐标，记
4、作 a( x， y)，其中 x 叫做 a 在x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标显然有， i ， j ，0 问题 1 根据下图写出向量 a， b， c， d 的坐标，其中每个小正方形的边长是 1.问题 2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量 ( xB xA， yB yA)所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平AB 面直角坐标系的点是一一对应关系请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量 a， b， c， d 所对应的点A， B， C， D.【探究点二】平面向量的坐标运算问题 1 已知 a ， b ， c ，如下图所示，
5、写出 a， b， c 的坐标，并在直角坐标系OA OB OC 内作出向量 a b， a b 以及 a3 c，然后写出它们的坐标问题 2 一般地，设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，试写出 a b， a b， a ， a b 的坐标【典型例题】例 1 已知平面上三点 A(2，4)， B(0,6)， C(8,10)，求：(1) ； (2) 2 ； (3) .AB AC AB BC BC 12AC 跟踪训练 1 已知 a(1,2)， b(2,1)，求：(1)2 a3 b； (2)a3 b； (3) a12b.13例 2 已 知 a ( 2,3)， b (3,1)， c (10， 4)，
6、 试 用 a， b表 示 c.跟踪训练 2 已知 a(10，5)， b(3,2)， c(2,2)，试用 b， c 表示 a.例 3 已知 ABCD 的顶点 A(1，2)， B(3，1)， C(5,6)，求顶点 D 的坐标跟踪训练 3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，2)，求第四个顶点的坐标三、巩固训练1设平面向量 a(3,5)， b(2,1)，则 a2 b 等于 ( )A(7,3) B(7,7) C(1,7) D(1,3)2已知向量 (3，2)， (5，1)，则向量 的坐标是OA OB 12AB ( )A. B.( 4，12) (4， 12)C. (8,1) D. (8,1)3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)， B(1，2)， C(3,1)，且 2 ，则顶点 D 的BC AD 坐标为 ( )A. B. C. (3,2) D. (1,3)(2，72) (2， 12)4已知向量 a(2，3)， b(1,2)， p(9,4)，若 p ma nb，则 m n_.四、课堂小结：1在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系关系图如图所示：2向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同3向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.
