1、变量间的相关性知识导学一、课标要求1通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、要点清点（一）变量间的相关关系1变量间的相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时我们称两个变量具有相关关系。注：相关关系与函数关系的异同点：（1）相同点：两者均是指两个变量的关系。（2）不同点：函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种
2、非确定的关系。函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。2散点图把两个变量作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点，这样的图形叫做散点图。注：散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关关系；如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系。3正相关、负相关具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关；反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。（二）两个变量的线性相关1线性相关、回归直线如果散点图
3、中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据点的一条，我们称之为回归直线。2用最小二乘法求回归直线方程。记回归直线方程为 yabx， ， 叫做回归系数。利用最小二乘法可以求得回归系数：1122()nni iiii iixyxyb， aybx。其中 1nix， 1niy。注：（1）我们知道，回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是离差的平方和，即总离差 21niiiQyabx，这样，回归直线就是所有直线中 Q取最小值的那一条，这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘
4、法。（2）利用最小二乘法求回归系数 ， 时，是将离差的平方和 转化为关于 a或 b的二次函数，利用二次函数知识求得的。3求回归直线方程的步骤（1）作出给出数据的散点图，并直观地判断是否是线性相关的；（2）求出 x， y；（3）求出 2i， i；（4）求出 a和 b，写出回归直线方程。4回归直线方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系：利用回归直线方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系；（2）利用回归方程进行预测：把预报因子（即自变量 x）代入回归方程对预报量（即因变量 y）进行估计，即可得到个体 y值的容许区间。（3）利用回归方程进行统计控制规定 值的变化，通过控制 的范围来实现统计控制的目
5、标。如已经得到了空气中 2NO的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中 2NO的浓度。5利用散点图和回归直线方程的注意事项（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前，最好先作出散点图，以判断是否是线性相关关系；（3）回归直线不要外延。三、范例剖析例 1 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是（ ）A小麦产量与施肥值B球的体积与表面积C蛋鸭产蛋个数与饲养天数D甘蔗的含糖量与生长期的日照天数分析：设球的半径为 r，则球的体积为 34Vr，球的表面积 24Sr，显然这两者不是线性关系。解析： B评注：线性关系是一种函数关系，因此具有确定性。本题中的 B两者之间有相关关系，
6、但不具有线性关系。例 2 要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了 10 名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10入学成绩 x63 67 45 88 81 71 52 99 58 76期末成绩 y65 78 52 82 92 89 73 98 56 75（1）若变量 与 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；（2）若某学生的入学成绩为 80 分，试估计他的期末成绩。解析：（1） 16374581752987600x，582936y 。 120.765niixyb， 2.4108aybx，所求线性回归直线
7、方程为 2.4108.765yx。（2）某学生的入学成绩为 80 分，代入上式可求得 84y，即这个学生期末成绩的预测值为 84 分。评注：知道 x与 y呈线性相关关系，无须进行相关性检验。否则，应首先进行相关性检验，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的。例 3 下表是我国居民生活污水排放量的一组数据：年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002排放量 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3试估计 1996 年我国居民
8、生活污水的排放量，并预测 2004 年生活污水的排放量（单位：810t） 。分析：要估计或预测，可考虑先求回归直线方程，将年份与污水的排放量的相关关系表达出来，可先剔除 1996 年，样本容量为 7。解析：设 1995 年为第 1 年，2002 年为第 8 年，列表，用科学计算器进行有关计算：i1 2 3 4 5 6 7ix1 3 4 5 6 7 8iy151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3ix151 567.9.21019 132.4593.1.44.857x， 0.8y7210ix，72196.i，71294.ixy71 22794857050iiy
9、bx，0.81.1.ay。所求回归直线方程为 4572yx，从而当 2x时， 170.y；当 9x时，250.y。1996 年污水排放量估计为 8170.t，2004 年污水排放量估计为 8250.1t。评注：灵活选取数据可以简化运算，当只要求分析两变量相关关系用其解决实际问题时，可选取恰当的变量进行分析。例 3 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y和房屋的面积 x的数据：房屋面积 2m115 110 80 135 105销售价格（万元） 24.8 21.618.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为
10、 150 2m时的销售价格。分析：将表中各对数据在平面直角坐标系中描点，便得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，即得散点图；按照求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程。解析：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）5109ix， 521570iix， 23.y，513.iiiy。设所求回归直线方程为 bxa，则51231.098257iiiiixyb，.96ayx。故所求回归直线方程为 01829yx。（3）当 x=150 2m时，销售价格的估计值为 0.1825.96231.y（万元） 。评注：研究变量间的相关关系，求得回归直线方程，能帮助我们发现事物发展的一些规律，补充积累资料的不足，估计预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据。
