1、1.2 椭圆的简单性质课时目标 1.掌握椭圆上点的集合范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a，b 以及 c，e 的几何意义，a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题1椭圆的简单几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程范围顶点轴长 短轴长_，长轴长_焦点焦距对称性 对称轴是_，对称中心是 _离心率2.直线与椭圆直线 ykxb 与椭圆 1 (ab0)的位置关系：x2a2 y2b2直线与椭圆相切Error! 有_ 组实数解，即 _0.直线与椭圆相交 Error!有_组实数解，即 _0，直线与椭圆相离Error!_实数解
2、，即 _0.一、选择题1椭圆 25x29y 2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A5,3， B10,6，45 45C5,3， D10,6，35 352焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 ，则椭圆的方程为( )5A. 1 B. 1x236 y216 x216 y236C. 1 D. 1x26 y24 y26 x243若焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则 m 等于( )x22 y2m 12A. B. C. D.332 83 234如图所示，A、B、C 分别为椭圆 1 (ab0)的顶点与焦点，若ABC90，则该椭圆的离心率为( )x2a2 y2b2A. B1
3、1 52 22C. 1 D.2225若直线 mxny4 与圆 O：x 2y 24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 x291 的交点个数为( )y24A至多一个 B2C1 D06.已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点.满足 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心MF1 MF2 率的取值范围是( )A(0,1) B. C. D.(0，12 (0， 22) 22， 1)题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点 P(5,4)，则椭圆55的方程为_8直线 x2y20 经过椭圆 1 (ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆x2a2
4、 y2b2的离心率等于_9椭圆 E： 1 内有一点 P(2,1)，则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程x216 y24为_三、解答题10.如图，已知 P 是椭圆 1 (ab0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，x2a2 y2b2O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点， H 是直线 x (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的a2c交点，若 PFOF，HBOP，试求椭圆的离心率 e.11已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程能力提升12若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该
5、椭圆的离心率是( )A. B. C. D.45 35 25 1313已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1( ，0)，且右顶点为 D(2,0)设点 A 的坐标是 .3 (1，12)(1)求该椭圆的标准方程；(2)若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程1椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用2椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用3椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或
6、不等式可以求得离心率的值或范围4在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系1.2 椭圆的简单性质知识梳理1.焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1 (ab0)x2a2 y2b2 1 (ab0)y2a2 x2b2范围 axa，byb bxb，aya顶点 (a,0)，(0，b) (b,0)，(0，a)轴长 短轴长2b，长轴长2a焦点 (c,0) (0，c)焦距 2c2 a2 b2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率 e ，0 没有 b0)，x2a2 y2b2将点(5,4)代入得 1，25a2 16b2又离心率 e ，即 e2 ，ca 55 c2a2
7、a2 b2a2 15解之得 a245，b 236，故椭圆的方程为 1.x245 y2368.255解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直线 x2y20 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以 b1，c2，从而 a ，e5 .ca 2559x2y40解析 设弦的两个端点为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则Error! ，两式相减，得 0. x1 x2 x1 x216 y1 y2 y1 y24又 x1x 24，y 1y 22，k MN ，y1 y2x1 x2k MN ，由点斜式可得弦所在直线的方程为12y (x2)1，即 x2y40.
8、1210解 依题意知 H ，F(c,0)，B(0，b)(a2c， 0)设 P(xP，y P)，且 xPc，代入到椭圆的方程，得 yP .P .b2a (c， b2a)HBOP，k HBk OP，即 .b 00 a2cb2acabc 2.e ，e 2 e 2 1.ca bc a2 c2c2e 4e 210.0e1，e .5 1211解 (1)由Error!得 5x22mxm 210.因为直线与椭圆有公共点，所以 4m 220(m 21)0.解得 m .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，由(1)知，5x 22mxm 210，由根与系数的关系得 x1x 2 ，2m5x1x2 (m21)15设弦长为 d，且 y1y 2(x 1m)(x 2m)x 1x 2，d x1 x2 2 y1 y2 2 2 x1 x2 2 2 x1 x2 2 4x1x224m225 45 m2 1 .2510 8m2当 m0 时，d 最大，此时直线方程为 yx.12 B 13解 (1)a2，c ，b 1.3 a2 c2椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)设 P(x0，y 0)，M(x，y)，由中点坐标公式，得Error! Error!又 y 1， 21x204 20 2x 1 24 (2y 12)即为中点 M 的轨迹方程
