1、1.3 中国古代数学中的算法案例【入门向导】秦朝末年，楚汉相争一次，韩信率 1 500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来只见远方尘土飞扬，杀声震天汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗韩信骑马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一排，结果多出 3 名；他又命令士兵 7人一排，结果又多出 2 名韩信马上向将士们宣布：我军有 1 073 名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人汉军本来就信服自己的统帅，这一
2、来更相信韩信是“神仙下凡” “神机妙算” 于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团，交战不久，楚军大败而逃这就是历史上有名的“韩信点兵” ，这类问题的有解条件和解题方法被称为“中国剩余定理” ，是一个典型的算法案例1用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术” 有人称其为“约分术” ，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数对于给定的两个不相等的正整数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差和较小的数作比较，并以较大数减去较小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数例 1 用“等值算法”求 84 与
3、 294 的最大公约数分析 根据等值算法算理计算如下：29484210； 21084126；1268442； 844242；42420.解 (294,84)(210,84) (126,84)(42,84)(42,42)故 84 与 294 的最大公约数是 42.2割圆术所谓“割圆术” ，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种方法割圆术的步骤：第一，从半径为 1 的圆内接正六边形开始，计算它的面积 S6.第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正
4、四十八边形的面积，到一定的边数(设为 2m)为止，得到一列递增的数S6，S 12，S 24，S 2m.第三，在第二步中各正 n 边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S 2nS n)与相应的正 n 边形的面积 S2n相加，得 S2n(S 2nS n)，这样又得到一列递增数： S12(S 12S 6)，S24(S 24S 12)，S 48( S48S 24)，S 2m(S 2mS m)第四，圆面积 S 满足不等式 S2mSS2m( S2mS m)估计 S 的近似值，即圆周率的近似值3秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法(1)秦九韶算法把求一个 n 次多项式的值转化为求 n 个一次多项式的值，把
5、求 f(x)a nxna n1 xn1 a 1x a0 的值转化为求递推公式：Error!(k1,2，n)中 vn的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上实现(2)运算次数减少，只需至多 n 次乘法和 n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为，加法的次数为 n 次，从而大大提高了运算效率计算机做一次乘法运算需要的时nn 12间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优” “劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法例 2 用秦九韶算法求多项式 f(x)x 50.11x 30.15x 0.04，当 x0.
6、3 时 f(x)的值分析 本题中有些项不存在，如 x4，x 2要补上，x 4写为 0x4，x 2写为 0x2.解 将 f(x)写为：f(x)(x0) x0.11)x 0)x0.15)x0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值v01；v110.300.3；v2v 10.30.110.2；v3v 20.300.06；v4v 30.30.150.132；v5v 40.30.040.079 6.所以，当 x0.3 时，多项式的值为0.079 6.点评 当多项式中有几项不存在时，可将这几项看作 0xn.1秦九韶算法计算多项式的值，要对多项式进行正确改写例 1 f(x) 3x 42x 24x 2，求
7、 f(2) 的值错解 f(x) (3 x22)x4)x 2v13(2) 2214v214(2) 424v324(2)250f(2)50.错 解 辨 析 错 解 中 v1中 含 有 x的 二 次 式 ，不 符 合 “秦 九 韶 算 法 ”.正解 f(x) 3x 40 x32x 24x 2(3x0) x2)x 4)x2v03v13(2) 06v26(2)214v314(2) 424v424(2)250f(2)50.2利用秦九韶算法，当多项式中出现空项时要用 0xn补齐例 2 用秦九韶算法，求当 x2 时，f (x)x 55x 4x 31 的函数值错解 利用秦九韶算法递推公式，有 v01；v 112
8、53；v 2(3) 215；v3(5) 2111.所以 f(2)11.正解 利用公式有 v01；v 11253；v2(3) 215；v 3(5) 2010；v4(10) 2020；v 5(20) 2141.所以 f(2)41.课本在算法案例中所介绍的等值算法(即更相减损之术) 与辗转相除法 (即欧几里得算法)都是求两个正整数的最大公约数的方法，它们既有相同之处，也有不同之处更相减损之术的具体算法是：用两数中较大的数减去较小的数，用所得的差与较小的数构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减去较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是所求的最大公约数辗转相除法的具体算法是：
9、用两数中较大的数除以较小的数，若余数等于零，则除数为最大公约数；否则把前面的除数作为被除数，余数作为除数，继续运算，直到余数为零，此时除数即为最大公约数例如：我们用上述两种方法来求 68 与 48 的最大公约数等值算法操作如下：(68,48)(20,48)(20,28) (20,8)(12,8)(4,8)(4,4) 所以 4 是 68 与 48 的最大公约数辗转相除法操作如下：(68,48)(20,48)(20,8) (4,8)所以 4 是 68 与 48 的最大公约数通过比较不难看出，两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差；不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止，辗转相除法做
10、到余数等于零即可如此看来，辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些例 1 现有长度为 240 cm 和 560 cm 两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？分析 剪裁的长度应能被 240 和 560 同时整除，本题即为求 240 和 560 的最大公约数解 (560,240)(320,240) (80,240)(80,160)(80,80)，即 240 和 560 的最大公约数为 80.故将正方体的棱长设计为 80 cm 时，体积最大且不浪费材料例 2 有甲、乙、丙三种溶液分别重 147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装
11、入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解 每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求 147 和 343 的最大公约数(147,343)(147,196)(147,49) (98,49)(49,49)147 和 343 的最大公约数为 49.同理可求得 49 与 133 的最大公约数为 7.所以每瓶最多装 7 克.1(泰安模拟)用秦九韶算法计算多项式 f(x)3x 64x 55x 46x 37x 28x1，当x0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为( )A6,6 B5,6C5,5 D6,5答案 A2(烟台模拟)三个数 390,455,546 的最大公约数是( )A65 B91 C26 D13答案 D
