1、课时训练 15 空间向量的数量积运 算一、综合题1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,的夹角为( ) .A.60 B.90C.135 D.45答案:B解析:由于 AB平面 BCC1B1,所以 AB C1B,从而的夹角为 90.2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:() 2=3;() =0;的夹角为 60.其中正确命题的个数是( ) .A.1 B.2C.3 D.0答案:B解析:,均正确;不正确,因为夹角为 120.3.已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长 都等于 a,点 E,F分别是 BC,AD的中点,则 的值为( ) .A.a2 B.a2来源:C.a2 D.a2
2、答案:C解析:) =a2.4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E是上底面的中心,则 AC1与 CE的位置关系是( ) .A.重合 B.垂直C.平行 D.无法确定答案:B解析:) .设正方体的边长为 1,于是 =()=0-0+0-0-+1-0-0=0,故,即 AC1与 CE垂直 .5.已知四边形 ABCD为矩形, PA平面 ABCD,连结 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是( ) .A. B.C. D.答案:A解析:可用排除法 .因为 PA平面 ABCD,所以 PA CD,=0,排除 D.又因为AD AB,所以 AD PB,所以 =0,同理 =0,排除 B
3、,C,故选 A.6.设 A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足 =0,=0,=0,则 BCD是( ) .A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定答案:B解析: =()()=0,同理,可证 0,0.所以 BCD的每个内角均为锐角,故 BCD是锐角三角形 .7.设向量 a与 b互相垂直,向量 c与它们构成的角是 60,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,则( a+3c)(3b-2a)= . 答案: -62解析:( a+3c)(3b-2a)=3ab-2|a|2+9bc-6ac=-62.8.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,向量两两夹角均为 60,且 |=1,|=2,|
4、=3,则 |= . 答案:5解析:由于, |2=()2=|2+|2+|2+2()=12+22+32+2=25,故 |=5.9.已知在空间四边形 OABC中, AOB= BOC= AOC,且 OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点, G是 MN的中点,求证: OG BC.解:如图,连结 ON,设 AOB= BOC= AOC= ,又设 =a,=b,=c,则 |a|=|b|=|c|.来源 :)=(a+b+c),=c-b,( a+b+c)(c-b)=(ac-ab+bc-b2+c2-bc)来源:数理化网=(|a|2cos -|a|2cos -|a|2+|a|2)=0. OG BC.10.如图,
5、在棱长为 1的正方体 ABCD-ABCD中, E,F分别是 DD,DB的中点, G在棱 CD上, CG=CD,H为 CG的中点,来源 :(1)求证: EF BC;(2)求 EF,CG所成角的余弦值;(3)求 FH的长 .来源 :(1)解:设 =a,=b,=c,则 cb=ba=ca=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1. =-c+(a-b)=(a-b-c),=b-c,( a-b-c)(b-c)=(c2-b2)=(1-1)=0, EF BC.(2)解: =-c+(a-b)=(a-b-c),=-c-a, (a-b-c),|2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=.|2=c2+a2=, |=,|=,cos=, EF,CG所成角的余弦值为 .(3)解:( a-b)+b+c+(a-b)+b+c+a+b+c, |2=a2+b2+c2=, FH的长为 .
