1、课时训练 18 空间向量与平行、垂直关系一、综合题1.若直线 l1,l2的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( ) .A.l1l 2 B.l1l 2C.l1、l 2相交不平行 D.不能确定答案: B解析: a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),来源:1 (-2)+23+(-22)=0,即 ab=0. a b. l1 l2.2.已知平面 的一个法向量是 n=(1,1,1),A(2,3,1),B(1,3,2),则直线 AB与平面 的关系是( ) .A.AB B.ABC.AB D.AB 或 AB答案: D解析: =(-1,0,1).于是 n=-1+0+1=0,所以
2、n,因此 AB 或 AB .3.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面 ABC的 一个单位法向量为( ).A. B.C. D.答案: B解析:设平面 ABC的法向量为 n=(x,y,z),则有取 x=1,则 y=-2,z=2.所以 n=(1,-2,2).由于 |n|=3,所以平面 ABC的一个单位法向量可以是 .4.若直线 l的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量 为,且 l,则 m的值为( ) .A.1 B.2 C.4 D.-4答案: C解析:l,l 的方向向量与平面 的法向量共线.(2,1,m)=,解得 m=4.5.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M,P,
3、Q分别为棱 AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则A 1MD 1P;A 1MB 1Q;A 1M平面 DCC1D1;A 1M平面 D1PQB1.以上正确说法的个数为( ).A.1 B.2 C.3 D.4答案: C解析:,来源:,从而 A1MD 1P.正确.6.如图 PA面 ABCD,四边形 ABCD为正方形,E 是 CD的中点,F 是 AD上一点,当BFPE 时,AFFD 的值为( ).A.12B.11C.31D.21答案: B解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为 1,PA=a,则 B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点 F的坐标为(0,y,0),则=(-1,
4、y,0),.BFPE,=0.解得 y=,即点 F的坐标为.F 为 AD的中点.AFFD=11.7.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是以ABC 为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是 A1C1的中点,点 E在棱 AA1上,要使 CE面 B1DE,则 AE= .答案:a 或 2a解析:建立如图所示的坐标系,则 B1(0,0,3a),D,C(0,a,0).设点 E的坐标为(a,0,z),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).由已知,2a 2+z2-3az=0,解得 z=a或 2a.AE=a 或 2a.8.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别在
5、 DB,D1C上,且 DE=D1F=a,其中 a为正方体的棱长.求证:EF平面 BB1C1C.解:如图所示,建立空间直角坐标系 Dxyz,则 E,F,故.又 =(0,a,0),显然为平面 BB1C1C的一个法向量,而=(0,a,0)=0, .又 EF平面 BB1C1C,所以 EF平面 BB1C1C.9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M 为 AA1的中点,N 为 A1B1上的点,满足A1N=NB1,P为底面正方形 A1B1C1D1的中心.求证:MNMC,MPB 1C.解:如图,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,来源:来源:则 D1(0,0,0),A1(1,0,0),A(1,
6、0,1),B1(1,1,0),C(0,1,1).又M 为 AA1中点,A 1N=NB1,P为底面中心,M,N,P.=(-1,0,1).=0,.MNMC.又=0,.MPB 1C.10.如图,已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段 EF的中点.求证:(1)AM平面 BDE;(2)AM平面 BDF.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设 ACBD=N,连结 NE,则点 N,E的坐标分别是,( 0,0,1),.又点 A,M的坐标分别是(,0), .,且 NE与 AM不共线.NE AM.又NE平面 BDE,AM平面 BDE,AM平面 BDE.来源 :(2)由(1)知,D(,0,0),F(,1),=(0,1). =0. .同理 .又 DFBF=F,AM平面 BDF.
