1、课时训练 16 空间向量的正交分解及其坐标表示一、综合题1.设 x=a+b,y=b+c,z=c+a,且 a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组: a,b,x, x,y,z, b,c,z, x,y,a+b+c,其中可以作为空间的基底的向量组有( ) .A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案: C解析:如图所示,设 a=,b=,c=,则来源:x=,y=,z=,a+b+c=,由 A,B1,C,D1四点不共面,可知向量 x,y,z 也不共面,同理可知b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面 .2.点 M(-1,3,-4)在坐标平面 xOy、xOz、yOz 内的射影的坐标分别是( )
2、.A.(-1,3,0),(-1,0,-4),(0,3,-4)B.(0,3,-4),(-1,0,-4),(0,3,-4)C.(-1,3,0),(-1,3,-4),(0,3,-4)D.(0,0,0),(-1,0,0),(0,3,0)答案: A3.若向量的起点与终点互不重合且无三点共线,则下列关系(O 是空间任一点)中,能使向量成为空间的一个基底的是( ).A.B.C.来源 :D.=2答案: C解析: A 中点 M,A,B,C 共面; B,D 中可能共面,故选 C.4.设 OABC 是四面体,G 1是 ABC 的重心, G 是 OG1上的一点,且 OG=3GG1,若 =x+y+z,则(x,y,z)为
3、( ) .A. B.C. D.答案: A来源 :解析:如图,由已知=)=()+()=,从而 x=y=z=.来源:5.已知向量 p 在基底 a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量 p 在基底 i,j,k下的坐标是( ) .A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)答案: A解析:依题意知 p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量 p 在基底 i,j,k下的坐标是(12,14,10) .6.设命题 p:a,b,c为空间的一个基底,命题 q:a,b,
4、c 是三个非零向量,则 p 是q 的 条件 . 答案:充分不必要解析:若 a,b,c为空间的一个基底, 则 a,b,c 一定不共面,故 a,b,c 中一定没有零向量;但当 a,b,c 是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底 .7.在空间中平移 ABC 到 A1B1C1(使 A1B1C1与 ABC 不共面),连结对应顶点 .设 =a,=b,=c,M 是 BC1的中点,N 是 B1C1的中点,用基底 a,b,c表示向量的结果是 .答案: a+b+c解析:如图,来源:=)+)=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c.8.四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形, PO平面 OABC,设
5、=a,=b,=c,E,F 分别是 PC和 PB 的中点,试用 a,b,c 表示: .解:连结 BO,则=)=)=(c-b-a)=-a-b+c.=-a+=-a+)=-a-b+c.)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c.a.9.如图,已知正方体 ABCD-ABCD,点 E 是上底面 ABCD的中心,求下列各式中 x,y,z 的值.(1)=x+y+z;(2)=x+y+z.解:(1)=-,又=x+y+z,x=1,y=-1,z=1.(2)=,又=x+y+z,x=,y=,z=1.10.已知 e1,e2,e3为空间的一个基底,且 =2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e
6、1+e2-e3.(1)判断 P,A,B,C 四点是否共面;(2)能否以作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.解:(1 )假设四点共面,则存在实数 x,y,z 使=x+y+z,且 x+y+z=1,即 2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于 x,y,z 的方程组解得与 x+y+z=1 矛盾,故四点不共面.(2)若向量共面,则存在实数 m,n 使 =m+n,同(1)可证,这不可能,因此 可以作为空间的一个基底 .令 =a,=b,=c.由 e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,联立得到方程组,从而解得所以= 17-5-30.
