1、100个 智 力 小 游 戏一 迷 宫 游 戏早在古希腊神话中，就有迷宫的传说。迷宫这个词，就是从希腊文演变 过来的。传说古埃及金字塔藏有珍宝，为了防盗，里面就建成迷宫的结构。 16 世 纪 时 ， 欧 洲 曾 兴 起 一 股 建 迷 宫 的 热 潮 。 后 来 世 界 许 多 地 方 也 都 建 起 了 迷 宫。迷 宫 开 始 为 了 藏 宝 ， 后 来 逐 渐 变 成 娱 乐 性 建 筑 。 科 学 家 把 它 移 植 到 纸 上 ， 成为一种纸上游戏。从这种游戏中，又总结出一门数学图论。我 们 这 里 选 择 一 些 有 代 表 性 的 迷 宫 ， 相 信 大 家 会 有 兴 趣 地 动
2、 手 来 “走 ”， 动脑来想。智 斩 牛 首 人 身 怪这是一个古老的走迷宫的游戏。传说在 4 千年前，地中海中有一个克里 特王国。国王米诺斯有一个牛首人身的怪儿子。国王为了遮羞，请工匠造了 一 个 迷 宫 ， 将 儿 子 藏 在 宫 中 。 这 个 怪 物 在 宫 中 吃 童 男 童 女 ， 给 人 们 带 来 灾 害 。 青年英雄提修斯，决心到迷宫去杀死怪物。在善良公主的帮助下，他终于到 达 迷 宫 中 心 ， 用 魔 剑 杀 死 了 牛 首 人 身 怪 。 这 个 迷 宫 就 是 传 说 中 的 克 里 特 迷 宫 。玩 法 ： 图 一 是 克 里 特 迷 宫 的 立 体 图 ， 要
3、求 从 入 口 一 直 走 到 中 心 。 图 二 是 走的路线。神 秘 的 教 堂西方有句谚语：法国人在教堂里造迷宫，而英国人把庭园建成迷宫。为 什么要把教堂建成迷宫呢？据说是为了让教徒知道，上天的路多么曲折。这里我们介绍一个典型的教堂迷宫法国沙特尔大教堂地板迷宫。走 法 ： 这 个 迷 宫 呈 圆 形 ， 只 有 一 个 入 口 ， 然 后 通 过 曲 曲 折 折 的 路 径 ， 才 能到达中心。你来用笔“走一走”，会体会到路途中的艰辛。迂 回 的 庭 园英国人把庭园建成迷宫式，使散步的人能悠闲地打发时光，也增加了庭 园 的 美 感 。 至 今 ， 在 英 国 伦 敦 还 保 留 了 一
4、座 1690 年建的庭园迷宫汉普顿 庭园迷宫。这个迷宫是用灌木围成的，是人们消闲的好去处。走 法 ： 这 个 迷 宫 呈 梯 形 ， 从 开 口 处 走 进 去 ， 经 过 曲 折 路 径 ， 才 可 以 到 达 中心。注意，在这个迷官中，有许多分叉点或者是死胡同，你走的时候要在 这些地点多加注意。图二是正确的路线。黄 花 阵在北京圆明圆里，曾经有过一个迷宫黄花阵。它建于 200 多年前， 据说是仿法国凡尔赛迷宫建造的。它座北朝南，呈长方形。正中有一个圆顶 凉亭。整个迷宫有东、西、南、北四个门，中间用 1 米高的矮墙隔成曲折回 廊，形成迷宫通道。这座迷宫原是供皇帝中秋赏月用的。宫女手执黄绸扎成
5、的宫灯，从四个 门分四路走到中央，向皇帝贺节。由于路线曲折迷离，看上去像四条黄花组 成 的 龙 ， 所 以 这 个 迷 宫 叫 黄 花 阵 。 这 个 黄 花 阵 曾 被 英 法 联 军 和 八 国 联 军 烧 毁 ， 现已在原址重建。玩 法 ： 我 们 可 以 用 笔 代 替 宫 女 走 路 ， 画 出 从 四 个 门 到 达 中 心 的 路 线 。 如 果有机会去圆明圆，可以亲自去走一走，亲身体会走迷宫的乐趣。视 错 觉 迷 宫这是一种现代派的迷宫，它是利用人的视错觉制成的。它的线条经过变 形，很像一只鼓起的球。看起来令人眼花了乱，增加了走通的难度。走 法 ： 它 只 有 一 个 入 口
6、处 ， 通 过 弯 弯 曲 曲 的 孤 线 ， 几 经 周 折 ， 才 能 走 到 中心五星处。走这个迷宫，既费脑，又费眼，千万别让错觉误导你。送 信 路 线走迷宫这种游戏，不仅具有高深的数学的理论，而且在实践上有许多用 途。此如邮递员送信，就希望走一条既不重复、又方便短捷的路线。又如去 公园参观各景点，也最好有一条最节省时间的路线。山东师范大学管海谷教 授就专门为邮递员设计了一种最优的投递路线。走 法 ： 图 一 是 某 邮 递 员 的 投 递 区 路 线 图 。 图 上 共 有 12 个投递点。由于 信件快速程度不同，要求邮递员按顺序走遍所有投递点，而且不走交叉和重 复的路。你能为他设计这
7、条路吗？图二我们给出了一个方案，你认为是不是 最优的呢？立 体 迷 宫立体迷宫是平面迷宫的发展，它更复杂，也更有趣。因为它不只在平面 上 有 分 叉 路 线 ， 而 且 在 立 体 上 有 分 叉 路 线 。 走 法 ： 这 里 显 示 的 是 一 座 古 城 的 立体图。图中箭头处是古城的入口。插旗子的城堡是某人的家。请你找到一 条回家的路线。由于城堡中有许多死胡同，所以要费一番周折，才能达到目 的。含 谜 语 的 迷 宫这是人言设计的迷宫，它由 20 个六角形组成。每个六角形中有一个汉字。这 20 个汉字连成五句诗，竟是一个谜语。 要看出谜语的谜面，得从“长”字开始走迷宫。要求不重复地走过
8、图中所有的各个小六角形。你会走吗？ 原来走的路线是这样的：“长着两只角，身穿大皮袄，吃的绿草草，拉的黑枣枣。”这个谜的谜底自然是“羊”。过 桥 难 题18 世 纪 时 ， 东 普 鲁 士 哥 尼 斯 堡 （ 现 为 俄 罗 斯 的 加 里 宁 格 勒 ） 有 一 条 河 流过市中心。河中心有一个孤岛，河流过孤岛后分成两路。河上建有 7 座桥。 有人想出这样一个问题：能否走遍所有的桥，但每座桥只能走一次，不许重 复？许多人试着去走，但都未成功。后来数学家欧拉证明，上面的问题答案 是 否 定 的 。 后 来 有 人 把 这 类 问 题 ， 叫 “一 笔 画 ”问 题 ， 这 也 是 一 种 迷 宫
9、 形 式 。 下面介绍另一个问题，供大家游戏用。玩 法 ： 据 说 前 苏 联 列 宁 格 勒 （ 现 圣 彼 得 堡 ） 也 有 一 条 带 许 多 支 流 的 河 ， 河 中 有 许 多 岛 ， 岛 上 回 二 有 15 座 桥 。 现 在 叫 你 也 来 设 计 一 条 路 线 ， 走 过 所 有 的 桥 ， 但 要 求 每 座 桥 只 走 一 次 。 可 以 用 一 笔 画 的 办 法 来 完 成 。 首 先 要 告 诉 你 ， 这次答案是有的，图三就是一个答案。“三 人 合 住 院 子 ”问 题这个问题也和走迷宫有关，是美国智力游戏专家罗伊德提出来的。有一 个四方形的小院，住了三户人
10、家，他们的位置如图一所示。奇怪的是，他们 的院门都正好对着自己的屋子。开始时，他们出入院子十分自由。后来一场 争吵，他们各自都要在院内修了一条由屋子通向自己院门的路。问题是这 3 条路不能交叉。这就发生了困难。制 法 ： 用 一 张 纸 ， 将 图 一 画 下 来 。 你 试 着 用 笔 在 图 上 画 线 ， 来 代 替 修 路 。 玩 法 ： 难 题 的 焦 点 是 3 条 图 一 路 不 能 相 交 叉 。 你 就 得 想 办 法 绕 道 ， 也 就是说不能修直路。你看，两间平房后面还有空地，可以绕到屋后试试，图二 就是其中一个答案。二 幻 方 游 戏填幻方是一种填数游戏。这种游戏最早起
11、源于我国。传说距今 4 千多年 的夏禹王治水时，河南洛水里浮出一只大乌龟，背上有一个祥瑞的图形，这 就是洛书。洛书是一种最古老的幻方。现在幻方成了一门应用广泛的科学，它在程 序设计、组合分析、实验设计、人工智能、图论、博奕论等都得到了应用。 这里介绍一些通俗有趣的幻方游戏。反 幻 方上面说过，我国古老的洛书是一种幻方。它用圆圈来表示数字。中间 5 个圈表示 5，前后左右分别表示 1、9、3、7，四个角分别表示 2、4、6、8。将洛书翻译出来，可以得到下面的表格： 它 的 每 行 、 每 列 和 两 个 对 角 线 上 的 3 个 数 之 和 相 等 ， 等 于 15。 这 就 是 一个三阶幻方
12、。下面我们要大家动手动脑来做一个三阶反幻方。填 法 ： 三 阶 反 幻 方 就 是 说 ， 33 的 方 格 内 ， 填 上 1 至 9 九 个 数 ， 使 它 的每行，每列和两条对角线上的 3 个数之和都不相等。 你会发现，要填这个反幻方并不容易。美国著名数学游戏大师马丁加德纳发明了这种反幻方，并给出了答案，你可以验证、验证，看对不对？答 案是：你发现了其中的规律没有？原来九个数首尾相连，形成“一条龙”。后 来有人又找到一种“一条龙”的答案：至于不是“一条龙”的答案，就很多了，你自己去试试填吧。写 给 太 空 人 的 信著名数学家华罗庚建议，在宇宙飞船上带上中国的洛书，作为给太空人 的 见
13、面 礼 。 因 为 太 空 人 如 果 掌 握 高 度 的 文 明 之 话 ， 一 定 会 懂 得 这 个 图 的 含 义 。1977 年，美国发射的“旅行者”号宇宙飞船上，果然带了一张幻方图。 现在就让你来填填这个幻方图。填法：这是一个四阶幻方图。就是在一个 44 的带 16 个方洛的方阵图中 ， 每 格 分 别 填 上 1 至 16 的 数 字 ， 使 每 行 、 每 列 及 两 条 对 角 线 上 的 4 个数之 和都相等。请你来填填这个四阶幻方图。不过，四阶幻方的填法共有 880 种之多， 所以我们要提示一下。这个四阶幻方是在印度卡俱拉霍发现的，它是 11 世纪时刻在一个碑上 的 ，
14、数 学 家 叫 它 筒 形 幻 方 。 它 不 只 对 角 线 的 4 个 数 相 等 ， 等 于 34， 而 且 任 何 一条折断的对角线上 4 数之和也都等于 34。 也 就 是 说 ， 幻 方 的 上 边 第 一 行 移 到最下一行，或左边第一行移到最右一行，仍是幻方。而且每相邻的 4 个数 之和也等于 34，我们给出这个幻方的 8 个数：相信你会填出其他数来。答案是：颠 倒 幻 方图 一 是 一 个 四 阶 幻 方 ， 它 每 格 填 的 不 是 1 至 16 的 自 然 数 。 但 它 每 行 、 每 列及对角线的 4 个数和都等于 264。奇怪的是，将这个幻方颠倒过来，又是一个新的
15、幻方。它每行、每列及 对角线的 4 数和仍为 264。 奥 秘 在 哪 儿 ？ 原 来 幻 方 格 子 里 填 的 数 ， 都 由 1、 6、 8、 9 这 四 个 数 组 成 ， 而 这 四 个 数 颠 倒 以 且 仍 然 是 数 字 ， 其 中 1、 8 仍是原数，6、9 则倒了个。此幻方由钱曾涛提供。三 角 幻 方我们知道，三角形只有 3 个交点，因此填 3 个数，使每条边上的两数之 和相等，是完全不可能的。但是，如果在每边中设 4 个数，则就成为可能了。填 法 ： 我们画出这个三角形幻方图， 请在每个圆圈中填上 1 至 9 的数字，使每条边的 4 数和相等。 图二是填好的三角幻方图。你
16、是否发现，这个幻方还有其他特性，如其中三个内三角形上的数字和也相等，即 29437549168167325 这人个幻方是孙维梓设计的。六 角 幻 方本世纪初，有一个叫阿当斯的青年，他热心填六角形的幻方。就是在六 角形的 7 个 点 上 ， 填 上 1 至 7 七 个 数 ， 使 每 条 直 线 上 的 2 个或 3 个数和相等。经过 47 年的努力，还没有得到成功。原来这样的幻方是不可能存在的。 如 图 二 所 示 ， 若 a6bc， 则 ac,但是幻方的要求是所填的数不能相同。不过，他经过这么多年挫折后，终于用毕生精力排出了一个两层六角幻 方。填 法 ： 在 图 三 所 示 的 六 角 幻
17、方 中 ， 共 有 两 层 ， 19 个 点 ， 要 求 在 各 点 上 填 上 1 至 19 各数，使每条线上的各数和相日二等，等于 38。这个幻方叫你来填 当 然 很 难 。 不 过 ， 我 们 可 以 先 给 出 内 层 7 个 数 ， 你 来 补 充 其 他 12 个 数 ， 也 许就不困难了。挂 红 灯洛 书 是 一 种 三 阶 幻 方 ， 它 共 有 33 九 个 格 。 你 会 问 ： 有 没 有 二 阶 幻 方 ？也就是说，在一个口字形的 4 角上，分别填上 1 至 4 四个数，使每行、每列 的两数和相等。可能吗？答案是不可能。道理很简单，这在六角幻方中已经有了类似的证明。 那
18、么，可不可以将二阶幻方变变形，使几个方格并起来，达到类似幻方的 目 的 呢 ？ 这 倒 是 可 以 。 如 图 一 ， 一 共 有 14 盏 彩 灯 ， 在 各 盏 灯 上 分 别 填 上 0到 13 的数字，使每个方格上的数字和相等。这就是可能的。填 法 ： 先 告 诉 你 方 格 上 4 数和是 27，再提示你上面 4 盏灯分别填上 1、 9、8、6 四数。下面就好填了。图二是一种方案，有没有其他方案呢？此幻方是钱树庠设计的。五 星 幻 方这个五星幻方十分别致，它共有 20 个圆圈。将 1 至 20 这二十个数，分 别 填 入 圆 圈 中 ， 使 每 一 条 线 上 的 6 数和都等于 7
19、0。 你 能 填 出 来 吗 ？ 它 是 由 王 琦设计的。答案见图二。蜂 窝 幻 方蜂窝幻方是六角幻方的变形。上面说过，单层的六角幻方是不存在的。 那么，两个“并肩”的六角幻方存不存在呢？存在。这里我们来介绍陈了贵为建国 41 周年设计的蜂窝花灯幻方。填 法 ： 在 如 图 一 的 花 灯 中 ， 有 12 个 相 连 的 蜂 窝 ， 请 在 蜂 窝 中 填 图 一 上 0至 11 十二个数，使得左右两朵花上的 7 数之和都相等，等于 41。图中已经 填出 10、1 两数，现在请你来填出其他十个数。答案见图一。图二七 星 幻 方七 星 幻 方 是 六 角 幻 方 的 发 展 。 在 图 一
20、所 示 的 七 星 图 中 ， 有 14 个 圆 圈 。 将1 至 14 十 四 个 数 字 分 别 填 入 圆 圈 中 ， 使 七 个 角 上 的 七 个 三 角 形 上 的 3 个数之 和相等，能做到吗？能。先填上 7 和 1 两 个 数 字 ， 并 告 诉 你 三 角 形 上 的 3 数之和为 26。 这 样 填 起 来就方便多了。填 法 ： 图 二 是 答 案 之 一 。 有 没 有 别 的 答 案 呢 ？ 你 动 手 动 脑 去 试 试 吧 。 此 幻方是忻明昌设计的。这个幻方也可以这样来填：填法一样，但要使每条直线上的四个数之和 都等于 30。这样将会有 72 种答案哩。梅 花 幻
21、 方这是一种形状十分别致的图案，它像一朵梅花，又像六个拨号盘。 图中共有大大小小 36 个圆圈。现在已经在大圈中分别填上 1 至 6 六个数 。 要 求 把 7 至 36 三 十 个 数 分 别 填 到 小 圈 中 ， 使 五 个 半 圆 形 花 瓣 加 上 花 芯 上 的六个数和和都相等，等于 111，你能做到吗？图二给了答案。这个梅花幻 方是阿文设计的。地 球 幻 方这 是 一 个 类 似 地 球 形 状 的 幻 方 。 共 有 经 线 5 条 ， 纬 线 3 条 。 上 面 共 有 17个圆圈，每条线上有 5 个圆圈。要求在 17 个圆圈中填上 17 个连续整数，使每条线上 5 数之和都
22、等于100。你选哪 17 个连续整数？又如何填呢？我 们 先 分 析 第 一 个 问 题 。 共 有 8 条 线 ， 每 条 线 5 数和为 100， 则 8 条线 5数和为 800。17 个圆圈中，上下两个数各用了 5 次，共图一 10 次。其他 15数各用了 2 次，共 30 次。因此这 17 个连续数的平均数为 800（1030）20。由此可以推出这 17 个连续数为 12 至 28。填法见图二。蝴 蝶 幻 方你看这个幻方像不像只蝴蝶？它共有 15 个 圆 圈 ， 组 成 6 个 封 闭 图 形 。 每个封闭图形包括 4 个圆圈。请将 1 至 15 这十五个数，填入 15 个圆圈中，使得
23、每个封闭图形中的 4个数的和都等于 30。为了方便大家填这个幻方，我们先填好了 10 和 1 两个 数。这个幻方是忻明昌设计的，答案见图二。汉 字 幻 方用 汉 字 编 幻 方 ， 也 是 一 种 有 的 游 戏 。 比 如 图 一 中 的 “羊 ”字 ， 上 面 有 20个小方格。三横格，三竖格。现在要将 1 至 20 二十个数，分别填到这 20 个 小方格中去，使三行、三列的格中数和相等。为了使你填得快些，先填了“1”、“9”二数，告诉你每行、每格三数 和为 40。图二是答案。这个幻方是人言设计的。数 字 羊 肉 串把这个游戏比作“羊肉串”，还不如比作“花环”更贴切。它和幻方游 戏有共同之
24、处。我 们 来 看 图 一 ， 它 将 1、 2、 4、 6 四 个 数 串 在 一 起 。 然 后 我 们 来 从 中 取 数 。 如 果 只 能 从 中 取 一 个 数 ， 则 可 以 取 出 1、 2、 4、 6 四 个 数 。 如 果 可 以 从 中 取 出 串联的二至四个数，则可以取出下列 13 个数：123、145、2147、268、1269、6410、64111、26412、264113。 于 是 可 以 得 出 结 论 ： 这 个 数 字 “花 环 ”可 以 取 出 1 至 13 十三个 连续数来。现在我们仿照四数“花环”，来做一个六数花环的游戏玩 法 ： 图 二 是 一 个
25、六 数 “花 环 ”。 它 上 面 的 花 环 数 字 分 别 为 1、 2、 3、 7、 8、10，按照上面的取数法，可以取出 1 至 31 三十一个连续数来。那 么 ， 你 能 不 能 用 1、 2、 3、 7、 11、 14 六 个 数 ， 串 成 另 一 个 六 数 “花 环 ”， 也能取出 1 至 31 连续数来呢？这也许难不到你。图三就是答案。完 美 图完美图和数字羊肉串一样，也是一种填数游戏。我们先来看“完美三角 形”。图一是一个完美的三角形。它的三个顶角上分别填上 0、1、3 三个数。 将每相邻两数相减，结果写在它们的连线上，分别得到 1、2、3 三个数。这就是说，一个完美三角
26、形的连线上可以得到 1 至 3 的连续数。 下面我们来填更复杂的完美图形。 填 法 ： 先 来 填 一 个 完 美 正 方 形 ， 要 求 在 正 方 形 的 四 角 上 各 填 一 个 数 ， 使正方形各边上得到 1 至 4 四 个 数 。 这 个 任 务 不 很 复 杂 ， 可 能 你 很 快 就 可 填 出 。也许你想填更复杂的完美图。我们来举一个三星轮的例子。它共有 7 个点。填上 7 个数后，各数中间的连线上可以得到 1 至 9 九个数，你填得出来吗？三 环 魔 数三环相交，组成 7 区。每区用 a、b、c、d、e、f、g 表示。将 1 至 7 这 七个数，分别填入各区中，使每个环中
27、的 4 个数之和 m 相等。能做到吗？能。那么，怎么填？这实际是一个填幻方的游戏。我们来分析一下： 因 为 a+6+e+g=6+6+g+f=c+e+g+f=m ， 所 以a+6+e+g+6+6+g+f+C+e+g+f=3m，即 a+6+C+2（d+e+f）+39=3m。因为 3+b+C+6+e+f+g=1+2+3+4+5+6+728。所以 b+e+f+2g+28=3m。 由此可以分析出：当 g=7，def=6+5+4 时，m 最大，等于 19（因为6+5+4+27+28=3m，所以 3m=57，m=19）；当 g=1，d 十 ef=2+3+4 时，m 最小，等于 13（ 因 为 2+3+4+2
28、1+28=3m，所以 3m=39， m=13） 。 这 样 ， 我 们 可 以 得 出 ， 填 法 可 以 分 为 m 等于 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19 七 类 。 而 每 一 类中又有许多填法，填法由杜焕生提供。当 m=13 时，只有一种填法。 当 m=14 时，有三种填法。 当 m=15 时，有两种填法。 当 m=16 时，有六种填法。 当 m17 时，有两种填法。当 m=18 时，有三种填法。当 m19 时，有一种填法。 总共有 18 种填法。你是否还有其他填法呢？立 体 幻 方相传有一种密码箱，它的密码在箱子的几个角上。要打开这个箱子，必 须拨对每个角上的密码
29、。这种密码的分布有一定的规律：它的每个角上的密 码分别为 1 至 8，而且每个面的 4 个数字的和都相等。这种密码箱实际是一种立体幻方，下面我们就来填这种立体幻方。填 法 ： 如 图 所 示 的 立 体 幻 方 ， 它 的 每 个 面 4 数之和为 18。 其 实 符 合 这 个 条件的立体幻方不只这一种，你能否再填出一种来？双 层 立 体 幻 方15 世 纪 土 耳 其 学 者 马 努 埃 里 莫 斯 哈 普 拉 向 国 王 建 议 ， 把 遗 嘱 放 在 一 个立方形铁精中，铁箱用 8 根铁链悬空吊在一个大立方形铁箱中。在两个铁箱的 16 个角上，各标上 0 至 15 这十六个数字中的一个
30、。标的方法很奇特：要使这个双层立方体及铁链组成的图形中，所有四边形顶点的 4 个数之和都相 等。只有掌握这个秘密，才能打开箱子，取出遗嘱。填 法 ： 上 面 只 是 一 种 传 说 ， 但 它 包 含 的 内 容 ， 实 际 是 一 个 填 双 层 立 体 幻 方问题。 这个双层立体共包括 24 个四边形， 所以填起来会有一些困难。 不过， 从图一可以得出，如顶 A 为正方形 ABCD、ABEF、ADHE，和 AABB、AADD、AAEE 所共有。所以每个顶点都要重复计算 6 次。而 0+l2 1415=120， 1206=720， 把 720 分配给 24 个 四 边 形 ， 每 个 四 边
31、 形 四 个 顶 点 上的数的和就是 7202430。知道了这一点，填起来就方便多了。图二是 答案之一。国 王 的 财 宝传说古代一位阿拉伯国王没有儿女，他在临死时，决定把自己的遗产献 给臣民。他的遗产是两箱珍宝。这两箱珍宝分别用 8 根链条，悬吊在两个大 玻璃柜中，每一箱的悬吊形状如图一所示。国 王 在 遗 书 说 ， 这 两 柜 和 两 箱 共 有 32 个 顶 点 。 要 想 打 开 柜 子 和 箱 子 ， 必须解开密码。密码的分布和上面说的立体幻方差不多，即各个顶点分别为 1至 32 的数字。要是箱子和柜子相应的 8 个数的和都相等时，密码就可解开， 取出珍主。看来，这是一个成对双层立
32、体幻方了。填 法 ： 要 填 这 个 幻 方 ， 有 一 定 的 难 度 。 我 们 先 给 出 答 案 ， 请 大 家 检 验 一 下：6+3+18+29+16+9+28+23=132，1+8+18+29+23+11+14+28132检验结果证明这个答案符合要求。你是否能想到，这个双层立体幻方还 有一个惊人的特征：它每组相应的 8 个数的平方和也相等。如62+32+182+292+162+92+282+232286012+82+182+292+232+112+142+282=2860你看这个立体幻方神奇不神奇？三 火 柴 游 戏火关在 19 世纪中叶传入中国。20 世纪初，国产火柴产生，并逐
33、渐进入 人民的生活中。大概火柴的外形很像我国古代的算筹，所以人们很自然地想到用火柴来 做游戏，特别是数学游戏。从下面介绍的游戏中可以看到，火柴不仅可以做 简单的消闲娱乐游戏，连科学家也用它来解决重大数学问题哩！组 三 角 形用 3 根火柴，可以组成一个三角形，这是很明显的。但是，要用 9 根火柴，不许相交，组成 7 个三角形，你能做到吗？ 也许你费尽九牛二虎之力，也不成功。但是你看了图二的答案，你一定会恍然大司，原来自己过去总局限在平面上摆火柴，没有想到摆成立体的。一 变 四如图一中的 4 根火柴，摆成了一个“十”字。如果要你移动两根，变成 一个四方形，这是很容易的。现 在 要 你 移 动 一
34、 根 火 柴 ， 变 成 个 四 方 形 ， 你 做 得 到 吗 ？ 也 许 你 会 说 ： “不 可能。”但是，你换一换思维方式想想。比如，组成四方形边不一定非得用火柴 的侧面，而用火柴的端面，如图三所示，不就成了吗！这个游戏告诉你，不要总用老眼光看问题，要换新的角度去解决问题。十 变 百5 根火柴可以如图一摆成“10”字。你能再加 2 根火柴，使这个“10” 变成“100”吗？请你再换个想法试试，将“100”换成“百”就得了。图二 就是答案。本游戏由小祉设计。成 双 成 对将 10 根 火 柴 排 成 一 排 。 现 在 要 将 它 们 移 成 5 对。 移 动 的 方 法 是 ， 每 次
35、 移动一根，但必须跳过 2 根火柴才行。要求跳 5 次完成。不要以为这很简单，如果不掌握规律，不但移动次数要超过 5 次，而且 可能根本移不成。图二给出了一种答案，你也许还有其他移法。雁 南 飞用 10 根 火 柴 摆 一 只 大 雁 。 这 只 大 雁 向 南 而 飞 。 现 在 大 雁 要 回 到 北 方 故 乡去。你能移动 3 根火柴，使这只雁头向北飞吗？ 图二给出了一种答案，你能否做到呢？椅 子 颠 倒图一的椅子由 10 根 火 柴 组 成 。 可 惜 这 把 椅 子 放 倒 了 。 你 能 把 这 把 椅 子 放 正吗？也许你会说，好办，只要把书倒过来就行。你的确想得很好，但是， 我
36、不允许你把书倒过来，而只允许你移动两根火柴，你能达到目的吗？这个问题不难办，像图二那样移就行，这个游戏由钱树庠提供。牛 转 向用 13 根 火 柴 摆 一 只 向 前 走 的 牛 。 牛 吃 完 草 后 ， 要 回 家 了 。 你 能 够 只 移 动2 根火柴，使这只牛头向后吗？也许你会说，这最少得移动 3 根火柴啊，像图二那样。其实你只要像图三那样，移动 2 根人柴就达到了目的。奔 向 2000 年这是由 24 根火柴组成的算式：13348。按这个算式，应该等于 1326。 可是却要求你只许移动其中 3 根火柴，使算式等于 2000，象征 2000 年。你 怎么移？图二是答案。本游戏是实见观
37、设计的。拆 笼 子图一是用 45 根火柴组成的笼子。 笼子中含有许多大大小小的三角形和四 边形。现在要把这些三角形和四边形拆掉，但要求抽掉的火柴数最少。怎么 拆呢？图二是一种拆法，它至少要抽去 20 根火柴。这个火柴游戏是元任设计 的。用 火 柴 算 圆 周 率圆 周 率 圆 周 长 与 半 径 之 比 值 ， 它 可 以 表 示 成 一 个 无 限 不 循 环 的 小 数 3.1415926535人们为了算出它的值，甚至动用了最先进的电脑。可是， 你相信吗？用火柴竟然也可以算出来。算 法 ： 准 备 一 些 火 柴 ， 越 多 算 得 越 准 确 ， 再 准 备 一 张 白 纸 ， 上 面
38、画 满 等 距离的平行线，距离要正好等于火柴棍的长度。把这张白纸平铺在桌面上。拿起一根根火柴随意让它们掉落到纸上。注 意，一定要放松肌肉，不可用力过猛。检查每根火柴，看它是否与纸上的平行线相交，设总共投下 m 根火柴， 有 n 根火柴与纸上的线相交。那么 = 2mn这个方法是法国科学家布丰提出来的，意大利数学家拉兹瑞尼进行了实 验。他掷下 3408 根火柴，其中有 2169 根火柴与线相交，得出23408 =2169 = 3.1415929这个结果相当准确。你要问，为什么能用这个公式算？这要等你将来 学习了更深的数学知识，才能明白。你是不是也想来试一试，也许你会比拉兹瑞尼算得更准呢！不过，你可
39、 得用更多的火柴啊。四 拼 板 游 戏拼图板是一种极古老的智力游戏。早在一千多年前，我国就有了七巧板 玩具，并传到国外。这 里 我 们 对 大 家 常 见 的 七 巧 板 玩 具 ， 只 介 绍 一 些 新 的 玩 法 。 而 重 点 介 绍 许多新颖的拼图游戏。相信它们会和七巧板一样吸引你。七 巧 板 的 数 学 课 题七巧板是我们十分熟悉的拼板玩具，它可以拼许多种图案，多达数千上 万个。在这里我们就不一一介绍了。我们只来谈谈用七巧板提出的一个著名 的数学课题。这个课题最早是日本数学家提出来的，内容是：用七巧板能拼 出多少个不同的凸多边形？这 个 问 题 初 看 起 来 似 乎 不 难 ，
40、俣 最 后 提 出 正 确 结 论 的 是 两 位 中 国 数 学 家， 他们是浙江大学的王福纯和向全启。 结论发表在 1942 年 美国数学月刊 上 。 答 案 是 ： 七 巧 板 所 拼 出 的 凸 多 边 形 图 形 最 多 不 超 过 13 个 。 想 下 到 这 样 的 问题竟发表在高深的美国数学杂志上，看来简单的七巧板，包含着不简单的 数学理论啊！制 作 ： 用 硬 纸 按 图 二 第 一 图 制 作 七 巧 板 。 为 了 清 楚 起 见 ， 可 以 制 作 13 副，以便比较。玩 法 ： 试 着 用 七 巧 板 拼 各 种 凸 多 边 ， 如 凸 三 角 形 、 凸 四 边 形
41、 、 凸 五 边 形 、 凸六边形，再多的多边形就不用去拼了，因为那是拼不出来的。注意，凸边 形就是内角和不超过 180的多边形，即四周皆朝外凸的多边形。不要拼成 凹多边形。答案是可拼出凸三角形 1 种，凸四边形 6 种，凸五边形 2 种，凸六边形4 种，见图一。具体拼法见图二，可见正方形是七巧板的标准拼图。用 七 巧 板 拼 故 事用七巧板可以拼许多图形，要是把这些图形串联起来，组成一组连环故 事，那该多好。这样，既可以玩，又可以边玩边讲故事。实例：下面我们介绍两个实例。第一个是乌鸦与狐狸。1.一只乌鸦 在树上吃肉，2.树下来了一只狐狸，3.狐狸想吃肉，它对乌鸦说：“你的歌 声真好听，请你唱
42、一支，好吗？”4.乌鸦非常得意，就张嘴唱了起来，于是 肉掉了下来，5.狐狸赶紧咬起那块肉，津津有味地大吃起来。第二个实例是农夫与蛇。我先把故事写下来，然后请你自己来拼。 1.一位农大在路上走，2.他看见路上有一条蛇，3.他很可怜它，就把它放在 怀里，4.那蛇苏醒过来了，5.它咬了农夫一口，6.农夫被咬死了，他临死的 时候说：“我怜惜恶虫，应该受到恶报。”图三中，我们给出了一种拼法供 你参考。魔 绳三块长方形板上各画有绳段，像图一那样拼起来，绳段变成一根绳圈。 如 果 将 三 块 板 重 新 拼 合 一 下 ， 就 会 得 到 三 根 绳 圈 。 一 根 绳 圈 变 三 恨 绳 圈 ，这就是“魔
43、绳”的来历。拼 法 ： 这 种 拼 板 游 戏 十 分 简 单 ， 因 为 只 有 三 块 板 ， 组 合 的 方 式 似 乎 不 多 ， 图一只有 6 种，ABC、ACB、BAC、CBA。但是这 6 种拼法都不行。还有什么拼 法？想想看，啊，还可以把拼板倒过来。对，这佯就成了。驴 子 智 力 难 题美国有一个著名的智力游戏设计家叫罗伊德。他生于 1841 年，14 岁就 在 纽 约 星 期 六 信 使 报 上 发 表 了 智 力 难 题 ， 17 岁 时 发 明 了 著 名 的 “驴 子 智 力 难 题 ”。 美 国 国 内 战 争 时 期 ， 即 他 20 岁 时 ， 他 又 提 出 了
44、一 道 有 趣 的 “矮种 马智力难题”。这些难题都获得了专利。这里我们先介绍“驴子智力难题”。制 法 ： 找 一 张 图 画 纸 ， 将 图 一 中 3 幅 画 描 下 来 ， 然 后 按 图 剪 成 3 张图片。玩 法 ： 这 三 张 图 片 中 ， 两 张 各 画 有 一 头 垂 死 状 态 的 驴 子 ， 而 另 一 张 则 画 有两位脚对脚的骑手。要求你将这三张图片重新组合，使两位骑手恰好坐在 两头驴背上，而且垂死驴子变成了生龙活虎的飞奔形状。你 别 小 看 这 三 张 图 片 ， 当 时 罗 伊 德 在 市 场 上 推 出 后 ， 竟 赚 了 1 万美元钱。 你来组合组合试试看，开
45、始也许找不到门道。其实答案很简单，图二就是。四 巧 板大 家 都 知 道 七 巧 板 ， 用 七 块 不 同 形 状 的 板 ， 可 以 拼 出 许 多 有 趣 的 图 形 来 。 其实，不用七块板，也可以达到这个目的，这里介绍一种沈建文设计的四巧 板，它由四块板组成。这四块板也不复杂，可以拼出动物、人物、数字和汉 字来。四巧板是一种“少而精”的拼板，“少”指用的拼板少，“精”指拼 出的图形很精彩。制 法 ： 找 一 块 长 方 形 的 硬 纸 板 或 木 板 ， 按 图 一 画 上 12 个方格，方格大小 可 以 根 据 自 己 的 需 要 而 定 。 然 后 按 图 中 的 实 线 将 长
46、 方 形 分 成 4 块 。 剪 下 来 ， 一副四巧板就做成了。如果要使拼出的图形更美，可以在拼板上涂上色。玩 法 ： 四 巧 板 主 要 的 玩 法 是 拼 图 形 。 图 二 是 拼 成 的 动 物 。 动 物 的 品 种 很 多，有狗、猫、鸟、鱼、鸡、熊、鹅。图三是拼出的人物。图四是拼成的阿 拉伯数字。图五是拼成的汉字。调 和 板这也是种四巧板，是一种极古老的游戏板。据说，这种拼板在西方流传 近 一 个 世 纪 了 。 在 西 方 叫 它 T 字 板 ， 因 为 它 的 目 的 是 要 拼 成 一 个 英 文 字 母 T。 这种游戏板在我国民间也流传很久了，我国叫它调和权。近年来，日本
47、将这 种拼板稍加改进，命名为博士板。制 法 ： 调 和 板 也 可 以 用 硬 纸 片 来 制 作 。 形 状 如 图 一 所 示 。 玩法：玩法很简单，就是将四块板拼成一个 T 字 。 别 看 它 简 单 ， 拼 起 来颇不容易。为什么？这里面涉及一个深刻的科学道理，就是心理上的错觉问 题。一般人看东西，心理上都有一种先入为主的错觉。就是说，人们第一眼看到的东西，往往根深蒂固，印象特别深，有时达到难以改变的地步。这四 块板中，人们首先注意到的，总是最大的那块五边形。而且往往认定这块板 在拼图时，不是平放就是直放，决不会想到斜放。但情况却恰恰相反，非斜 放就拼不出 T 字来。请看图二的答案。心
48、理学家正是利用这一点，来测验人 们的错觉的。所以这个游戏，对克服错觉，发展思维能力有一定的帮助。日 本 的 博 士 板日本也有一种四巧板，叫“博士板”，因为这种板不仅用来作为课外活 动的玩具，而且还用来测试智能，根据拼图的难易，分成九档：婴儿水平、 幼儿水平、初小水平、高小水平、初中水平、高中水平、专科水平、大学水 平和博士水平。也就是说，如果能拼出最难的图形，就能达到博士水平的智 力 。 这 种 拼 板 在 日 本 还 有 一 个 名 称 叫 “吉 四 六 之 谜 ”， 意 思 是 “难 解 之 谜 ”。其实，这种拼板在我国古时和西方都有，只不过名称不同。上面说过， 中国古代称它为调合板，这
49、个名字很吉祥，是拼出的图块很协调的意思；西 方叫它为 T 字板，因为它能拼出一个 T 字来。制 法 ： 博 士 板 也 可 以 用 一 块 长 方 形 的 硬 纸 板 或 木 板 制 成 。 长 方 形 木 板 的 长度为 200mm。将它按图一，剪成 4 块。其中一个三角形、一个五边形、两 个梯形。玩 法 ： 将 4 块 板 打 乱 ， 重 新 拼 成 图 一 的 长 方 形 ， 如 果 能 在 2 分钟到 3 分钟 内 完 成 ， 就 是 婴 儿 水 平 ； 如 果 在 20 分 钟 内 ， 拼 出 图 二 的 路 牌 、 钩 、 马 、 手枪 图 形 ， 是 幼 儿 水 平 ； 如 果 在 20 分 钟 内 ， 拼 出 图 三 的 燕 、 直 尺 、 帆 船 、 鸡 图 形 ， 是 初 小 水 平 ； 如 在 20 分 钟 内 ， 拼 出 图 四 的 箭 羽 、 1 字 、 鸟 、 菱 形 ， 是 高 小水平；如在 20 分钟内，拼出图五的鸭、台阶、高跷、7 字，是初中水平； 如在 20 分 钟 内 ， 拼 出 图 六 的 铲 、 闪 电 、 坐 人 、 房 子
