1、 悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 1 页第五讲 平行线分线段成比例【知识导航】一、比例线段1.线段的比定义：如果选择同一单位长度量得两条线段 a、b 长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n 或写成 。nba（1）两条线段的比，与长度单位的选择无关，但是所选的单位必须统一；（2）两条线段的比是一个没有单位的正数；（3）两条线段的比 a:b（或 ）中，a 叫做比例前项，b 叫做比例后项；2.比例线段定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。3.比例的性质：（1）比例的基本性质：如果 a:
2、b=c:d 或 ，那么 ad=cb；如果 ad=cb，那么 a:b=c:d 或；如果 ，那么 b2=ac；如果 b2=ac，那么 。dcbacbacba（2）合比性质：如果 ，那么 。dd（3）等比性质：如果 ，那么 。)(0nnm bandbm4.黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC BC）且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点。二、平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。/ / ， ，1l23DEBFAl1l2l3a bABCDEFAB CD E A
3、B CD E2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。DE/BC，ACB3.判定平行的定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例，那么这悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 2 页条直线平行于三角形第三边。， DE/BC)(ACBDEABCD， 或或AB CD E AB CD E AB CD E4.平行性质定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。DE/BC，BCDEA预习测试：1. 下列线段能成比例线段的是（ ）A.1cm，2cm，3cm ，4cm B
4、.1cm， cm，2 cm，2cmC. cm， cm， cm，1cm D.2cm，5cm，3cm，4cm2532. 如果线段a=4，b=16 ，c=8，那么a、b、c的第四比例项d为（ ）A.8 B.16 C.24 D.323. 已知xyz=1 23，且2x+y -3z= -15，则x 的值为（ ）A.-2 B.2 C.3 D.-34. 已知点C是AB的黄金分割点 (AC BC)，若AB=4cm，则AC的长为（ ）A.(2 2)cm B.(6-2 )cm C.( 1)cm D.(3- )cm5 5 5 55. 如图，已知在ACM中，BD/CM，若AC +AB=14且AM：AD=4：3，则AB=
5、_。（5题） （6题） 6. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC ，MN/BC，对角线BD交MN于点O，DA =DO=p，BC=BO=q，则MN=_。A CMBD悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 3 页【典型例题】例题一：已知 a、b、c 为 ABC 的三边，且 a+b+c=60cm，abc =345，求 ABC 的面积。例题二：等比性质运用1.已知： ，求 k 的值。baccbak222.已知： ，求 的值。yxzzyxzx例题三：黄金分割以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB；延长DA 至F，使EF=EB；以线段AF 为边作正方形 AFGH
6、点 H在AB上。（1）求AH，BH的长；（2）求证： BHA2（3）图中哪些是黄金分割？哪是黄金分割点？悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 4 页例题四：如图，已知 G 是 BC 中点，E 是 AG 的中点，CE 的延长线交 AB 于点 D，求 的值。ECB CADGE例题五：如图，已知 ，若 ， ， ，求证： ./ABEFCDABaCDbEFc1cabFEDCBA即学即练：如图，找出 、 、 之间的关系，并证明你的结论.ABDSEBCDSFEDCBA悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 5 页例六：如图，在梯形 中， ， ，过对角线交点 作 ABCD
7、 129ABCD， O交 于 ，求 的长。EFCD ， EF， O FEDCBA例七：如图， 是 的中线，点 在 上， 是 延长线与 的交点.ADBCEADFBEAC（1）如果 是 的中点，求证： ；E12F（2）由（1）知，当 是 中点时， 成立，若 是 上任意一点（ 与 、C DEA不重合） ，上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.D FED CBA悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 6 页例八：如图，在ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，且AE= AB，连结EM并延长交BC于41D，求证：BC=2 CD。AB C DEM能力测试1. 线
8、段 a3，b4，c5 则 b，a，c 的第四比例项是 ，b、c 的比例中项是 2. ABC 的周长为 100cm，如图若 ， AEF 的周长为 。53BCEAFAB CE F(2 题) (3 题) (4 题)3. 如图 BD，CE 是ABC 的中线，P，Q 分别是 BD，CE 的中点，则 PQBC 等于（ ）A.13 B.14 C.15 D.164. 如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，平行于梯形两底的直线交梯形两腰 AB，CD 及两条对角线BD、AC 分别于点 E、F 、G、H ，若 AEEB=HGGE=21 ，则用 ADBC 等于（ ）A12 B1 2C23 D34悦丰教育 八年级春季
9、训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 7 页5. 已知：如图， 中，D 是 BC 上的一点， ,且 AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,ABCDCBA求 BD , DC 的长。AB D C6. 如已知 ， ，求证： .DEAB 2OCEADBC DOECBA7. 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取 AEAB，过 E 作 AC 的垂线交 BC 于 F求：EF : AB 的比值悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 8 页8. 已知：如图，ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上两点，DE 交 BC 延长线于 F，BDCE求证： FABC9. 如图，已知 中， 是
10、边上的中线， 是 上的一点，且 ，延长 交 于 。ABCDBEADBEACBEACF求证： 。FE FED CBA10. 已知： 为 的中位线 上任意一点， 、 的延长线分别交对边 、 于 、 ，PABCMNBPCACBDE求证： 1DEP NME DCBA悦丰教育 八年级春季训练班只有适合孩子的才是最好的！ 第 9 页11. 如图，已知：M 为ABC 内一点，过 P 点作 DE、FG、HL 分别与 BC、AC、AB 平行。求证： 2ABNLCFGDE12. 如图，在 ABC 的边 AB 上有一异于中点的动点 P，沿平行于 BC 的方向运动到 AC 边于点 D，再沿平行于 AB 方向运动到 BC 边于点 E，再沿平行于 CA 方向运动到 AB 边于点 F如果每次平行于某一边方向运动到另一边于一点算作运动一次，那么这样运动 2008 次点 P 在那里？
