1、化工厂提高产品产率的正交试验分析摘 要众所周知，社会实践在很大程度上是一种重复渐进的活动，实验设计不仅是一种探索性的科学活动，而且对生产具有实质性的指导作用。虽然生产或社会实践是一个长期的习惯过程，但是人们可以从中发现问题，通过实验来解决问题，从而起到推动社会生产向前发展的作用。其中正交试验方法是一种重要的方法，正交试验设计法是统计数学的重要分支，它利用数理统计概念和正交原理所编制的正交表，是解决实际问题的有效工具，主要应用于工农业生产和科学研究过程中的科学试验。该文介绍了正交法的基本概念、主要用途以及应用实例，为了解正交试验设计法提供了入门的钥匙。运用这种方法可以达到减少试验次数，缩短试验周
2、期，降低试验和生产成本，迅速找到优化方案，实现最大效益的目的。关键词:试验设计，正交设计，方差分析目 录1 试验设计概述 .11.1 试验设计的概念 .11.2 试验设计的基本原理 21.3 试验设计的各种方法 32 正交试验简介 .32.1 正交试验设计提出的历史前提 .42.2 正交试验设计法的基本概念 .52.2.1 正交法应用中几个常用名词 .52.2.2 正交法的基本工具 .62.3 正交试验方案的设计 .72.4 交互作用分析 .72.5 方差分析 .82.6 正交试验的优点 .93 课程任务 .103.1 任务描述 .103.2 正交试验设计 .103.3 试验结果的分析 .11
3、3.3.1 直观分析法 .113.3.2 方差分析法 .133.4 结论 .144 小结 .16参考文献 17第 1 页 共 7 页1 试验设计概述到目前为止，试验设计与数据分析学科已经经过了 80 多年的研究与实验，已成为广大技术人员与科学工作者必备的基本理论知识。实践证明，该学科与实际的结合，在工农业、生产中产生巨大的社会效益和经济效益。20 世纪 20 年代，英国生物统计学家费歇（R.A.Fisher ）首先提出了方差分析，并将其应用于农业、生物学、遗传学等方面，取得了巨大的成功，在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，开创了一门新的应用技术学科，从此试验设计成为统计学科的一个分支
4、。20 世纪 50 年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出，为试验设计的更广泛使用做出了巨大的贡献。中国从 20 世纪 50 年代开始研究这门学科，并在正交试验设计的观点、理论和方法上都有所创新，绘制了一套适用的正交表，简化了试验程序和实验结果的分析方法，创立了简单易学、行之有效的正交试验设计法。同时，著名数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及“优选法” ，从而使试验设计的概念得到普及。随着科学技术工作的深入发展，中国数学家王元和方开泰于 1978 年首先提出了均匀设计，该设计考虑如何将设计点均匀地散布在实验范围内，使得能用少量的实验点获得最多的
5、信息。随着计算机技术的发展和进步，出现了针对试验设计和数据处理的软件，使试验数据的分析计算不在繁杂，极大地促进了本学科的快速发展和普及。 11.1 试验设计的概念试验设计（design Of experiment，DOE），也称为实验设计。试验设计是一概率论和数理统计为理论基础，经济地，科学地安排试验的一项技第 2 页 共 7 页术。试验设计自 20 世纪 20 年代问世至今，其发展大致经历了三个阶段:即早期的单因素和多因素方差分析，传统的正交试验法和近代的调优设计法。从 20 世纪 30 年代费希尔（R.A.Fisher）在农业生产中使用试验设计方法以来，试验设计方法已经得到广泛的发展，统计
6、学家们发现了很多非常有效的试验设计技术。20 世纪 60 年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。产品质量的高低主要是由设计决定的，一个好的试验设计包含几个方面的内容。第一是明确衡量产品质量的指标，管理强调用数据说话，所以这个质量指标必须是能够量化的指标，在试验设计中称为试验指标，也称为响应变量 (response variable）或输出变量。第二是寻找影响试验指标的可能因素（factor) ，也称为影响因子和输入变量。因素变化的各种状态称为水平，要求报据专业知识初步确定因家水平的范围。第三是根据实际问
7、题，选择适用的试较设计方法试验设计的方法有很多，每种方法都有不同的适用条件，选择了适用的方法就可以事半而功倍，选择的方法不正确或者根本没有进行有效的试验设计就会事倍而功半。第四是科学地分析试验结果，包括对数据的直观分析、方差分析、回归分析等多种统计分析方法，这些工作可以借助 Minititab 软件完成。1.2 试验设计的基本原理试验设计的三个基本原理是重复，随机化，以及区组化。所谓重复，意思是基本试验的重复进行。重复有两条重要的性质。第一，允许试验者得到试验误差的一个估计量。这个误差的估计量成为确定数据的观察差是否是统计上的试验差的基本度量单位。第二，如果样本均第 3 页 共 7 页值用作为
8、试验中一个因素的效应的估计量，则重复允许试验者求得这一效应的更为精确的估计量。如 S2 是数据的方差，而有 n 次重复，则样本均值的方差是 S2/n。这一点的实际含义是，如果 n=1，如果 2 个处理的y1=145，和 y2=147，这时我们可能不能作出 2 个处理之间有没有差异的推断，也就是说，观察差 147-145=2 可能是试验误差的结果。但如果 n 合理的大，试验误差足够小，则当我们观察得 y1 随机化是试验设计使用统计方法的基石。所谓随机化，是指试验材料的分配和试验的各个试验进行的次序，都是随机地确定的。统计方法要求观察值（或误差）是独立分布的随机变量。随机化通常能使这一假定有效。把
9、试验进行适当的随机化亦有助于“均匀”可能出现的外来因素的效应。区组化是用来提高试验的精确度的一种方法。一个区组就是试验材料的一个部分，相比于试验材料全体它们本身的性质应该更为类似。区组化牵涉到在每个区组内部对感兴趣的试验条件进行比较。 21.3 试验设计的各种方法常见的试验设计方法，可分为二类，一类是正交试验设计法，另一类是析因法。析因法又称析因试验设计、析因试验等。它是研究变动着的两个或多个因素效应的有效方法。许多试验要求考察两个或多个变动因素的效应。例如，若干因素:对产品质量的效应;对某种机器的效应;对某种材料的性能的效应;对某一过程燃烧消耗的效应等等。将所研究的因素按全部因素的所有水平（
10、位级）的一切组合逐次进行试验，称为析因试验，或称完全析因试验，简称析因法。析因法用于新产品开发、产品或过程的改进、以及安装服务，通过较少次数的试验，找到优质、高产、低耗的因素组合，达到改进的目的。 第 4 页 共 7 页但是析因法不可避免地有一些缺点，而正交试验法作为一种重要的很有优势实验方法而被广泛应用，下面将着重介绍正交试验法。2 正交试验简介2.1 正交试验设计提出的历史前提在科学研究和工农业生产中，特别是在新产品开发和质量保证过程中，为了认识和探求客观事物的内在规律，需要进行大量的多因素配合试验。例如: 做杏子罐头时，需要构杏子光放在有一定温度和浓度的碱液中去皮。若温度或浓度太低，杏皮
11、可能脱不掉;若温度或浓度太高，则可能脱皮过度影响杏肉的完整。因此，需要考察碱液温度、浓度和杏子浸泡的时间等因素的配合;为提高铸件的质量，需要考察砂子含水且、铁水温度、环境湿度、时间等因素的配合;为提高 M1040 外圆磨床加工效率、提面产量和光洁度，需要考察导垂倾角、导刀架倾角、转速等因素的配合; 为提高铰链电镀质量，需要考察铬酸、硫酸、氮酸、氟硅酸、温度等因素的配合;为确定硅霍尔元件的良好光洁工艺，需要考察腐蚀温度、电胶时间、氧化片停放时间、腐蚀时间、显影时间、前烘时间、前烘温度、曝光时间、温度、坚模温度、坚模时间等素的配合。可以说，在科学研究和工农业生产的一切领域里，都存在着多因素配合的试
12、验问题。由于因素很多，每一因素都要选出好的试验条件，如果对这些因素的各种条件进行完全组合试验，需要进行相当多次的试验。例如，有 7 个因素，每个因素确定二种状态，就需要做 27=128 次试验。如果存 5个因素，每个因素确定 5 种状态，就需要进行 553125 次试验。由于入力、物力、财力的限制，特别是时间的约束，不可能通过全面试验来达到认识事物内在规律的目的。客观条件制约人们只能进行少数次试验，因此，通常采用两种办法来解决问题。一种办法是减少需要考察的因素，这样也就减少了理论上应做的试验的次数，由于许多因素没有考察，不能掌握它们第 5 页 共 7 页的变化规律，因此结果很不理想，另一种办法
13、是根据经验主观的确定少数次试验，由于没有科学依据、盲目性很大，试验结果没有代表性，结果也很不理想。实践迫切要求人们解决科学试验个的两个矛盾1理论上需要进行的试验次数与实际可行的试验次数的矛盾。2实际所做的少数次试验与要求全面掌握事物内在规律之间的矛盾。长期以来，人们一直在探索研究这一课题。衡量一个试验方法是否科学合理的准则应该是:第一，尽可能多考察一些因素 ;第二，尽可能减少试验次数;第三，少数次试验的结果能够反映全面试验的内在规律，具有代表性;第四，能够通过对少数次试验结果的分析和处理探求可能更优的试验方案。正交试验设计就是能满足这些要求的科学试验方法，它冲破了传统试验观点的束缚，克服了单因
14、素优选的局限性，应用数理统计观点和正交原理，使试验设计建立在科学的基础上。2.2 正交试验设计法的基本概念 3正交试验设计法（简称正交法）是统计数学的重要分支。它是以概率论数理统计、专业技术知识和实践经验为基础，充分利用标准化的正交表来安排试验方案，并对试验结果进行计算分析，最终达到减少试验次数，缩短试验周期，迅速找到优化方案的一种科学计算方法。它是产品设计过程和质量管理的重要工具和方法。2.2.1 正交法应用中几个常用名词（1）指标。在试验中需要考查的效果的特性值，简称为指标。指标与试验目的是相对应的。例如，试验目的是提高产量，则产量就是试验要考查的指标;如果试验目的是降低成本，则成本就成了
15、试验要考查的指标。总之，试验目的多种多样，而对应的指标也各不相同。指标一般分为定量指第 6 页 共 7 页标和定性指标，正交试验需要通过量化指标以提高可比性，所以，通常把定性指标通过评分定级等方法转化为定量指标。（2）因素。因素也称因子，是试验中考查对试验指标可能有影响的原因或要素，它是试验当中重点要考查的内容。通常用大写英文字母A、B、 C 等来表示。一个字母表示一个因素，因素又分为可控因素和不可控因素。可控因素指在现有科学技术条件下，能人为控制调节的因素;不可控因素指在现有科学技术条件下，暂时还无法控制和调节的因素。正交试验中，首先要选择可控因素列入到试验当中，而对不可控因素，要尽量保持一
16、致，即在每个方案中，要对试验指标可能有影响的不可控因素，尽量要保持相同状态。这样，在进行试验结果数据的处理过程中，就可以忽略不可控因素对试验造成的影响。（3）水平。试验中选定的因素所处的状态和条件称为水平或位级。例如:加热温度为 70C、80C、90C 这 3 个状态，可分别用 “1”、 “2”、 “3”来表示。又如 1 个因素分为 2 水平，用“1” 和“2” 来表示。同理，一个因素也可分为 4 水平、5 水平或更多水平，以此类推。 2.2.2 正交法的基本工具正交法的基本工具是正交表。它是一种依据数理统计原理而制定的具有某种数字性质的标准化表格。以基本的 L4(23)正交表为例 :L4(2
17、3)其中:L 表示正交表代号;表示横行数（个横行，每行为个试验方案）;表示因素水平数（本表为水平，每个因素分个档次）;表示纵列数（个纵列，能安排个因素）;表 1 L 4(23)正交表的格式第 7 页 共 7 页列项目1 2 31 1 1 12 1 2 23 2 1 2行4 2 2 1从表 1 看，该表是一个 3 列 4 行的矩阵，每 1 个因素占用 1 列，该表最多能考查 3 个因素，每个因素分为 2 水平，共有 4 个横行，也就是有 4个试验方案，每 1 行是 1 个方案。假若用 A 因素占第 1 列，B 因素占第 2列，C 因素占第 3 列，则 1 号方案为 A B C ，号方案为 A B
18、 C ,号方案为 A B C ，号方案为 A B C 。只要因素上列各因素水平对号入座，方案就确定好了。有几个横行就有几个试验方案。以上介绍的正交表，是水平数相同的正交表，其通式表示为:表现为列行的矩阵，每个因素都分为个水平。 KNL（ M）2.3 正交试验方案的设计 4第一步:明确试验目的，确定考查指标;第二步:确定因素、选取水平、制定因素水平表;第三步:选用合适的正交表进行表头设计;第四步:确定试验方案，做正交试验，记录试验结果 ;第五步:计算分析试验结果，选取优化方案;第六步:验证试验，确定最佳方案。2.4 交互作用分析在正交试验设计法简介中仅考虑了每个因素的单独作用，但在有第 8 页
19、共 7 页些试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素间还会有联合搭配对指标产生影响，这种联合搭配作用称为交互作用。事实上，有相当多的试验中，因素之间是交互作用的，对于有交互作用的试验，我们希望能估计交互作用的大小;如果交互作用较大，也要挑选这两个因素能使指标达到最好的水平搭配，运用正交试验设计法，可以帮助我们完成这项工作。许多正交表附有相应的交互作用列表。利用它可以找出正交表中任意两列的交互作用列。例如表 2 就是 L8(27)的“ 两列间的交互作用列表”，表上的数字都是列号，如需查第 1 列和第 2 列的交互作用列，就从（1）横着向右看，从（2）竖着向上看，它们的交叉点为 3，则第 3 列就是
20、第 1 列和第 2 列的交互作用列。如第 1 列排 A 因素，第 2 列排 B 因素，则第 3 列将反映它们的交互作用 A B，在安排试验时，如要 A B，那么第 3 列就不能再安排其他因素了，这称为不能混杂。在试验分析时可把 A B 看作一个单独的因素，同样地计算它们的 F 比 （或极差） ，F 比 （或极差）的大小反映 A 和 B 交互作用的大小。表 2 L8(27)二列间的交互作用列表行号 1 2 3 4 5 6 7（1） 3 2 5 4 7 6（2） 1 6 7 4 5（3） 7 6 5 4（4） 1 2 3（5） 3 2第 9 页 共 7 页（6） 1（7）2.5 方差分析在正交试验
21、设计简介 4 正交试验数据进行分析，用的是极差法。极差法考虑简易懂，计算量小，而且可以直观地描述，但是极法没有把试验过程中试验条件改变所引起的据波动，与由试验误差引起的数据波动区分来; 也没有提供一个标准，用来判断考察的因的作用是否显著。为了弥补极差法的这个缺点，可采用方差分析的方法，方差分析法正是将因素水平(或交互作用 )的变化所引起的试验结果间差异与误差的波动所引起的试验结果间的差区分开来的一种数学方法。正交表方差分析需用的计算公式:各列偏差平方和 的计算jS（1）222j Tjjj 水 平 重 复 数 数 据 总 个 数对于二水平正交表，公式（1）稍加推导，便可简化为更加简便的形式。（2
22、）数 据 总 个 数）（ 2jjjS比的计算公式比F（3）误误比 f/SA其中，用表示同水平数据，T 表示数据总和， f 表示自由度。第 10 页 共 7 页2.6 正交试验的优点运用正交试验法只需进行代表性很强的少量试验，分析出最佳的设计参数和工艺条件，并预测出最佳条件下试验结果的变动范围。正交试验设计法的突出优越性在于:(1)合理安排试验、减少试验次数，因素数目和指标越多，这一优点越突出;(2）分清因素主次位置;(3)掌握各因素与指标之间关系的变化趋势，预测下一步的试验方向;(4)找出数据的设计参数和工艺条件。常采用的试验结果分析方法有两种: 直观分析法，从正交表安排的试验方案中直接选取指
23、标最理想的条件 ; 1综合分析法，运用数理统计方法分析出最优的设计参数和工艺条件。根 2据分析方法不同，综合分析法又可分为极差分析法与方差分析法两种。 53 课程任务3.1 任务描述本课题是针对某化工厂进行提高产品产率的试验分析研究，说明在有交互作用的情况下，如何用正交表安排试验及用方差分析来分析试验结果，从而确定最优生产方法。根据生产经验，影响产品产率的因素和水平如下:表 3 因素水平表因 素 一 二A 反应温度（C ） 30 40B 反应时间（小时） 1 1.5C 配比 1:1 1.5:1D 搅拌速度 慢 快第 11 页 共 7 页同时考虑交互作用 A B，B C 试验指标为产品产率（ %
24、） 。3.2 正交试验设计首先指出，两个二水平因素的交互作用也要占一个两水平列。因此在我们的问题中，就要考虑四个因素和二个交互作用，就相当于考虑六个因素，故选用正交表 L8(27)较为适合，那么，这四个因素和两个交互作用在L8(27)上占哪些列呢？这就可借助于 L8(27)的交互作用列表（表 2）来实现，所得表头设计见表 4。表 4 L8(27)计算表A B A BC 误差 B CD 试验结果试验号1 2 3 4 5 6 7 产率（%）1 1 1 1 1 1 1 1 752 1 1 1 2 2 2 2 843 1 2 2 1 1 2 2 814 1 2 2 2 2 1 1 835 2 1 2
25、1 2 1 2 806 2 1 2 2 1 2 1 847 2 2 1 1 2 2 1 728 2 2 1 2 1 1 2 77K1 323 323 308 308 317 315 314K2 313 313 328 328 319 321 322k1 80.75 80.75 77 77 79.25 78.75 78.5第 12 页 共 7 页k2 78.25 78.25 82 82 79.75 80.25 80.5R2.5 2.5 5 5 0.5 1.5 2.03.3 试验结果的分析3.3.1 直观分析法 6试验后，将产率填入表 4 先计算每个因素的 1 水平，2 水平的产率和k1 、k 2
26、 、K 1 、 K2 ，其中:（4）A1因 素 水 平 效 率 和（5）1k因 素 水 平 效 率 和因 素 水 平 重 复 次 数（6）1 21 2Rmax(kin(， ， ） ）此试验中:;A1K75+843=;32k0.;R2.5其他数据用此方法计算，结果分别填入表 4 中。第 13 页 共 7 页图 1 因子与水平和产率图根据极差大小，顺次排除因素的主次顺序为: （主）C D（次）AB根据各异素对结果的影响差异，首先选择 C2 ，再根据 B 与 C 的交叉作用，选择 B1 ，再选择 A 由于与的交叉作用影响显著，根据交叉作用选择，由于 B1 已经选择，故只能选择 A2 ;选择 D 时，
27、根据极差分析选择D2 比较好。最终选择最优方案为 A2B1C2D2 。3.3.2 方差分析法 7表 5 方差计算A B A BC 误差 B CD 试验结果因素 1 2 3 4 5 6 7 产率（%）第 14 页 共 7 页j 323 323 308 308 317 315 314j313 313 328 328 319 321 3222jjjS（ ）812.5 12.5 50 50 0.5 4.5 8试验后，将产率填入表 3，先计算每个因素的 1 水平，2 水平的偏差平方和,根据偏差平方和及自由度可算得平均偏差平方和,进而算得,比而知其显著性，见表 6:表 6 方差分析注: 0.25(1,).
28、83;F0.1(,)9.;0.5(1,).4F当 时则C因素影响异常显著，记为0.1因素影响特别显著，记为5F方差来源偏差平方和 自由度 平均偏差平方和 F 比 显著性A 12.5S1 12.5 25 B .1 12.5 25A B350AS1 50 100 *C 41 50 100 B C 6.B1 4。5 9 D 78S1 8 16第 15 页 共 7 页因素影响显著，记为0.50.1F因素有一定影响，记为.1.25 看不出因素对指标有影响，不作记号。0.对交互作用的第 3 列和第 6 列也要作同样的计算，如果交互作用所在的列 F 比 大，就说明该交互作用对指标的影响大。于是同样可根据 F
29、 比 的大小比较各因素及交互作用对指标影响的主次，具体计算可在表 3 及表 4 上进行。3.4 结论从表 6 中各列 F 比 的大小可知 :各因素和交互作用对产率影响的主此顺序为:（主） D B C（次）ABC由于因素 C 和交互作用 A B 对产率的影响显著，因此要比较 C 的一水平下的产率和（ 1）与二水平下的产率和（ 4） ， 4 1，可知 C2取二水平为好。此外还要考察 A 与 B 的搭配哪个好，所以观察 A 和 B 所在的第 1 列和第 2 列 。A 与 B 共有四种不同的搭配 A1B1 ，A 1B2， A2B1， A2B2，在每个搭配下均做了两次试验，我们计算各种搭配下的平均产率（
30、% ）见表 7。表 7 A，B 两因素的搭配表A1 A2B1 159/2=79.5 164/2=82B2 164/2=82 49/2=24.5由此可知，取搭配 A1B2 或 A2B1 均能使产率最高，那么选 A1B2 还是第 16 页 共 7 页A2B1 呢？这可结合以上讨论的 C 因素和交互作用 B C 来考虑。由表 8 可知交互作用 B C 对产率也有一定影响，所以要考虑 B 与 C的搭配哪个好，为此，观察 B 和 C 所在的第 2 列和第 4 列,B 与 C 共有四种不同的搭配 B1C1，B 2C2，B 2C1，B 1C2，在每种搭配下均做了两次试验，我们计算各种搭配下的平均产率，见表
31、8，由此可知取搭配 B1C2 为最好，且与以上讨论的 C 取 C2 为最好一致,所以因素 B 取 B1 。表 8 B，C 两因素的搭配表B1 B2C1 155/2=77.5 153/2=76.5C2 168/2=84 160/2=80虽然因素 A 和 B 对产率也有较大影响，并从表 3 可知 A 取 A1，B 取B1 为好。但由于它们不如交互作用 A B 对产率的影响大，根据“抓主要矛盾”的思想。首先应该考虑的最重要的交互作用 A B 的最佳搭配，结合表5 和表 6 可知应该取 A2B1。从表 5 可知因素 D 对产率也有一定影响，从表 3 可知 D 应该取 D2 。综上所述，最优的生产条件为
32、 A2B1C2D2 ，即反应温度 40C 时间 1小时，配比 1.5:1，搅拌速度以快为好。如照这样的搭配进行生产，从产率来看，可比试验号 2 号和 6 号的产率 84%更高，这就是正交试验设计法的优点。4 小结通过本次课程设计，我学到了好多知识，特别是如何用正交法选择最优实验方案，这不仅是一个实验分析过程，更是一个学习提高的过程。在实验分析中，我发现还有好多知识还没学好，整过过程对我的计算机操作能力也有很大的提高。第 17 页 共 7 页在这次课程设计中，通过分析实验结果，我对试验优选法有了更深的了解。这对以后的工作中可能用到次试验方法解决问题会有很大的帮助。第 18 页 共 7 页参考文献1李云雁.实验设计与数据处理.北京:化学工业出版社.2005.1902沈邦兴.实验设计及工程应用.北京:中国计量出版社.2005.1223 姜同川. 正交试验设计法.山东:学技术出版社.1985.1404徐仲安,王天保等 .试验设计法简介.技情报开发与经济.12（5）.1481495白新佳.数据分析与试验优化设计.北京:清华大学出版社.19996曾令可.计算机在材料科学与工程中的应用.武汉: 武汉理工大学出版社.2004.1367王钟灵,赵晓燕 .也谈正交试验设计法.滁州专学报. 5（2）.99101
