1、第 3 讲 数学归纳法A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1用数学归纳法证明不等式 1 (nN *)成立，其初始值12 14 12n 1 12764至少应取 ( ) A7 B8 C9 D10解析 左边1 2 ，代入验证可知 n 的12 14 12n 11 12n1 12 12n 1最小值是 8.答案 B2用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时，x ny n能被 xy 整除” ，在第二步时，正确的证法是 ( )A假设 nk (kN )，证明 nk1 命题成立B假设 nk( k 是正奇数 )，证明 nk1 命题成立C假设 n2k1( k
2、N )，证明 nk1 命题成立D假设 nk (k 是正奇数)，证明 nk2 命题成立解析 A、B、C 中，k1 不一定表示奇数，只有 D 中 k 为奇数，k2 为奇数答案 D3用数学归纳法证明 1 ，则12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上 ( )A. B12k 2 12k 2C. D. 12k 1 12k 2 12k 1 12k 2解析 当 nk 时，左侧1 ，当 nk 1 时，12 13 14 12k 1 12k左侧1 .12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2答案 C4对于不等式 1，nN *)，求
3、证：12 13 1nS2n1 (n2，nN *)n2证明 (1)当 n2 时，S 2nS 41 1 ，即 n2 时命题成立；12 13 14 2512 22(2)假设当 n k(k2，kN *)时命题成立，即 S2k 1 1 ，12 13 12k k2则当 nk1 时，S 2k1 1 1 12 13 12k 12k 1 12k 1 k2 1 1 1 ，12k 1 12k 2 12k 1 k2 2k2k 2k k2 12 k 12故当 nk1 时，命题成立由(1)和(2)可知，对 n2， nN *.不等式 S2n1 都成立n28(13 分) 已知数列 an：a 11，a 22，a 3r ，a n
4、3 a n2(nN *)，与数列bn：b 11， b20，b 3 1，b 40，b n4 b n(nN *)记Tnb 1a1b 2a2b 3a3 b nan.(1)若 a1a 2 a3a 1264，求 r 的值；(2)求证：T 12n4n(nN *)(1)解 a 1a 2a 3a 1212r34(r2)56(r 4)78(r6)484r.484r64，r4.(2)证明 用数学归纳法证明：当 nN *时，T 12n4n.当 n1 时，T 12a 1a 3a 5a 7a 9a 114，故等式成立假设 nk 时等式成立，即 T12k4k，那么当 nk1 时，T12(k1)T 12ka 12k1 a
5、12k3 a 12k5 a 12k7 a 12k9 a 12k11 4k(8k1)(8kr )(8k4)(8k 5)(8kr4)(8k8)4k 44(k1)，等式也成立根据和可以断定：当 nN *时，T 12n4n.B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1用数学归纳法证明 123n 2 ，则当 nk1 时左端应在n4 n22nk 的基础上加上 ( )Ak 21B(k1) 2C.k 14 k 122D(k 21)(k 22)( k23)(k1) 2解析 当 nk 时，左侧123k 2，当 nk1 时，左侧123k 2(k 2 1)(k1)
6、2当 n k1 时，左端应在 nk 的基础上加上(k 21)(k 22)(k 23)(k1) 2.答案 D2(2013广州一模 )已知 12333 243 3n3 n1 3 n(nab)c对一切 nN *都成立，则 a、b、c 的值为 ( )Aa ，bc Babc12 14 14Ca 0，bc D不存在这样的 a、b、c14解析 等式对一切 nN *均成立， n1,2,3 时等式成立，即Error!整理得Error!解得 a ，bc .12 14答案 A二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2) ，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(
7、1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第 60 个数对是_ 解析 本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数 n 所拥有数对为(n1)对设 123(n1) 60， 60，n 1n2n 11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12，12111210394857，第 60 个数对为 (5,7)答案 (5,7)4已知数列a n的通项公式 an (nN *)， f(n)(1a 1)(1a 2)(1a n)，1n 12试通过计算 f(1)，f (2)，f (3)的值，推测出 f(n)的值是 _解析 f(1) 1a 11 ，f(2)
8、(1a 1)(1a 2)14 34f(1) ，f(3)(1a 1)(1a 2)(1a 3)f(2) (1 19) 34 89 23 46 (1 116) 23 ，由此猜想，f(n) (nN *)1516 58 n 22n 1答案 (nN *)n 22n 1三、解答题(共 25 分)5(12 分) 设数列 an满足 a13，a n1 a 2na n2，n1,2,3，2n(1)求 a2，a 3， a4 的值，并猜想数列a n的通项公式(不需证明)；(2)记 Sn为数列 an的前 n 项和，试求使得 Snn22n.n6 时，2 66226，即 6448 成立；假设 nk(k 6，kN *)时，2 kk22k 成立，那么 2k1 22 k2(k22k)k 22kk 22kk 22k32k(k 1) 22(k1)，即 nk1 时，不等式成立；由、可得，对于所有的 n6(nN *)都有 2nn2 2n 成立6(13 分)(2012 安徽)数列 xn满足 x10，x n1 x x nc(nN *)2n(1)证明：x n是递减数列的充分必要条件是 c0，即 xn0，即证 xnx n，即 xn是递增数列2n由知，使得数列x n单调递增的 c 的范围是 .(0，14特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
