1、复数的概念常见题型思维诊断复数的概念中的有关问题在解答时极易出错，下面结合常见题型的解析与思维诊断加以讲解，以期同学们在学习时注意。例 1、m 取何实数时，复数 z 152362mmi（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？思路分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数。由于所给复数 z 已写成标准形式，即 zabi（a、bR）,所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。解答：（1）当 03152m时，即 35m或 时，即 m=5。m=5 时，z 是实数。（2）当 03152时，即 35且 。当 35m且 时，z 是虚数。（3）当 015236m时，即 352
2、m且或。当 23或 时，z 是纯虚数。思维诊断：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点。如本题易忽略分母不能为 0 的条件，丢掉 03m，导致解答出错。例 2、已知 x 是实数， y 是纯虚数，且满足（2x1）iy（3y）i，求 x 与 y。思路分析：因为 y 是纯虚数，所以可设 y=bi（b R，b 0）代入等式，把等式的左、右两边都整理成 a+bi 形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x 与 b 的方程组，求解后得 x 与 b 值。解答：设 y=bi（bR 且 b 0）代入条件并整理得（ 2x1 ）i
3、b（b3）i。由复数相等的条件得 312bx解得 24x。 x，y4i。思维诊断：一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决。在解此题时，学生易忽视 y 是纯虚数这一条件，而直接得出等式 yx312进行求解，这是审题不细所致。例 3、已知关于 x 的方程 022kixik有实根，求这个实根以及实数 k 的值。思路分析：方程的实根必然适合方程，设 0为方程的实根，代入整理后得 a+bi=0 的形式（ a、b R） 。由复数相等的充要条件，可得关于 0x与 k 的方程组，通过解方程组便可求得 0x与 k。解答：设 0x是方程的实根，代入方程并整理得 02002ikxkx。由复数相等的条件得 020kx，解得： 或 。方程的实根为 或 ，相应的 k 值为 22k或 。思维诊断：学生易给出如下错解：方程有实根，024kiik。解得 32k或 。这是由于错把实系数一元二次方程根的判别式运用到了复系数一元二次方程中。事实上，在复数集内解复系数一元二次方程，判别式不能够判断方程有无实根。因此，解关于方程有实根的问题，一般都是把实根代入方程，用复数相等条件求解。
