1、阶段质量评估(二) 平面向量本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间 120分钟第卷(选择题)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列量不是向量的是( )A力 B速度C质量 D加速度解析：质量只有大小，没有方向，不是向量答案：C2已知 a， b都是单位向量，则下列结论正确的是( )A ab1 B a2 b2C a ba b D ab0解析：因为 a， b都是单位向量，所以 |a| b|1.所以| a|2| b|2，即 a2 b2.答案：B3(2014新课标全国高考)设 D， E， F分别为
2、 ABC的三边 BC， CA， AB的中点，则 ( )EB FC A. B.AD 12AD C. D.BC 12BC 解析： ( ) ( ) ( ) ，故选 A.EB FC 12AB CB 12AC BC 12AB AC AD 答案：A4(2014广东高考)已知向量 a(1,2)， b(3,1)，则 b a( )A(2,1) B(2，1)C(2,0) D(4,3)解析：由于 a(1,2)， b(3,1)，于是 b a(3,1)(1,2)(2，1)，选 B.答案：B5已知向量 a(1， )， b( 1， 1)，则 a与 b的夹角为( )3 3 3A. B.4 3C. D.2 34解析：cos ，
3、又 0， .ab|a|b| 3 1 3 3222 22 4答案：A6已知两点 A(2，1)， B(3,1)，与 平行且方向相反的向量 a可能是( )AB A a(1，2) B a(9,3)C a(1,2) D a(4，8)解析： (1,2)， a(4，8)4(1,2)4 .D 正确AB AB 答案：D7已知 ab12 ， |a|4， a与 b的夹角为 135，则| b|( )2A12 B3C6 D3 3解析：12 | a|b|cos 135，且| a|4，故| b|6.2答案：C8(2014重庆高考)已知向量 a( k,3)， b(1,4)， c(2,1)，且(2 a3 b) c，则实数 k(
4、 )A B092C3 D.152解析：因为 a( k,3)， b(1,4)，所以 2a3 b2( k,3)3(1,4)(2 k3，6)因为(2 a2 b) c，所以(2 a3 b)c(2 k3，6)(2,1)2(2 k3)60，解得k3.故选 C.答案：C9已知向量 a， b不共线，实数 x， y满足(3 x4 y)a(2 x3 y)b6 a3 b，则 x y的值为( )A3 B3C0 D2解析：由原式可得Error!解得Error! x y3.答案：A10(2014大纲全国高考)若向量 a， b满足：| a|1，( a b) a，(2 a b) b，则|b|( )A2 B. 2C1 D.22
5、解析：( a b) a，( a b)a a2 ab0. ab1.(2 a b) b，(2 a b)b2 ab b20. b22.| b| .故选 B.2答案：B11若 a(1,2)， b(3,0)，(2 a b)( a mb)，则 m( )A B.12 12C2 D1解析：因为 a(1,2)， b(3,0)，所以 2a b(1,4)， a mb(13 m,2)又因为(2 a b)( a mb)，所以(1)24(13 m)解得 m .12答案：A12在 ABC中， AB边上的高为 CD，若 a， b， ab0，| a|1，| b|2，CB CA 则 ( )AD A. a b B. a b13 1
6、3 23 23C. a b D. a b35 35 45 45解析：因为 ab0，所以 .所以 AB .又因为 CD AB，所以CA CB 12 22 5ACD ABC.所以 .所以 AD .所以 (a b)ACAB ADAC AC2AB 2212 22 455 AD 45AB 45(CB CA ) 45 a b.45 45答案：D第卷(非选择题)二、填空题(本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，请把正确答案填在题中横线上)13已知向量 a(3，2)， b(3 m1,4 m)，若 a b，则 m的值为_解析： a b， ab3(3 m1)(2)(4 m)0. m1.答案：114已知 a(
7、2,4)， b(1，3)，则|3 a2 b|_.解析：3 a2 b3(2,4)2(1，3)(6,12)(2，6)(4,6)，所以|3 a2 b| 2 .42 62 13答案：2 1315(2014北京高考)已知向量 a， b满足| a|1， b(2,1)，且 a b0( R)，则| |_.解析：利用共线向量求参数值 a b0， a b.| a| b| b| .22 12 5| |a| .又| a|1，| | .5 5答案： 516(2014四川高考)平面向量 a(1,2)， b(4,2)， c ma b(mR)，且 c与 a的夹角等于 c与 b的夹角，则 m_.解析：向量 a(1,2)， b(
8、4,2)， c ma b( m4,2 m2) ac m42(2 m2)5 m8，bc4( m4)2(2 m2)8 m20. c与 a的夹角等于 c与 b的夹角， ，即 .ac|a|c| bc|b|c| ac|a| bc|b| ，解得 m2.5m 85 8m 2025答案：2三、解答题(本大题共 6小题，共 74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12分)(1)已知 a(4,2)，求与 a垂直的单位向量的坐标(2)若| a|2，| b|1，且 a与 b的夹角为 120，求| a b|的值解：(1)设与 a垂直的单位向量为 e( x， y)，则Error!解得Error!
9、 或Error!所以 e 或 e .(55， 255) ( 55， 255)(2)|a b|2( a b)2 a22 ab b24221cos 12013，所以| a b| .318(本小题满分 12分)已知梯形 ABCD中， AB CD， CDA DAB90，CD DA AB.12求证： AC BC.证明：以 A为原点， AB所在直线为 x轴，建立直角坐标系，如图，设 AD1，则 A(0,0)、 B(2,0)、 C(1,1)、 D(0,1) (1,1)， (1,1)，BC AC 11110.BC AC BC AC.19(本小题满分 12分)设向量 a， b满足| a| b|1 及|3 a2
10、b| .7(1)求 a， b的夹角 ；(2)求|3 a b|的值解：(1)由已知得(3 a2 b)27，即 9|a|212 ab4| b|27，又| a|1，| b|1，代入得 ab ，12| a|b|cos ，即 cos .12 12又 0， .3向量 a， b的夹角 .3(2)由(1)知，(3 a b)29| a|26 ab| b|293113.|3 a b| .1320(本小题满分 12分)已知 e1， e2是平面上的一组基底，a e1 e2， b2 e1 e2.(1)若 a与 b共线，求 的值；(2)若 e1， e2是夹角为 60的单位向量，当 0 时，求 ab的最大值解：(1) a
11、b，存在实数 ，使得 b a.Error! 解得 .22(2) e1， e2是夹角为 60的单位向量， e1e2 .12 ab( e1 e2)(2 e1 e2) 23 .12在 0，)上是减函数， 0 时， ab取最大值 .1221(本小题满分 12分)已知 a、 b、 c是同一平面内的三个向量，其中 a(1,2)(1)若| b|2 ，且 a b，求 b的坐标；5(2)若| c| ，且 2a c与 4a3 c垂直，求 a与 c的夹角 .10解：(1)设 b( x， y)， a b， y2 x.又| b|2 ， x2 y220.5由联立，解得 x12， y14， x22， y24. b(2,4)
12、或 b(2，4)(2)由已知( 2a c)(4 a3 c)，(2a c)(4a3 c)8 a23 c22 ac0，又| a| ，| c| ，5 10解得 ac5，cos . 0，ac|a|c| 22 a与 c的夹角 .422(本小题满分 14分)已知向量 a、 b满足|a| b|1，| ka b| |a kb|， k0， k R.3(1)求 ab关于 k的解析式 f(k)；(2)若 a b，求实数 k的值；(3)求向量 a与 b夹角的最大值解：(1)由已知| k a b| |a k b|，3有| k a b|2( |a kb|)2，即3k2a22 k ab b2 3 a26 kab3 k2b2.又| a| b|1，得 8k ab2 k22， ab ，即 f(k) (k0)k2 14k k2 14k(2) a b， k0， ab 0，则 a与 b同向k2 14k| a| b|1， ab1.即 1，整理得 k24 k10，k2 14k k2 .3当 k2 时， a b.3(3)设 a， b的夹角为 ，则cos abab|a|b| ，k2 14k 14(k 1k) 14(k 1k)2 2当 ，即 k1 时，cos 取最小值 .k1k 12又 0 ，所以 .3即向量 a与 b夹角的最大值为 .3
