1、1.1.2 弧度制【学习要求】1理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换2体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式【学法指导】1通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制2弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键3引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.11 弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 表示，读作 2弧度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制3角的弧度数的规定：一
2、般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是 .如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是 .这里， 的正负由角 的终边的旋转方向决定4角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360 rad；180 rad；1 rad0.017 45 rad.(2)弧度转化为角度：2 rad ； rad ；1 rad 57.305718.(180 )探究点一 弧度制问题 1 1 弧度的角是怎样规定的？1 弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个 1 弧度的角吗？答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.1 弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无
3、关如图所示， AOB 就是 1 弧度的角问题 2 如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l，那么 的弧度数与 l、 r 之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.AB的长 OB 旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数0 r 2顺时针方向 r 逆时针方向2 r 顺时针方向规律：如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长为 l，那么 _，即 _.问题 3 除了角度制，数学还常用弧度制表示角请叙述一下弧度制的内容答 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是| | .
4、lr这里， 的正负由角 的终边的旋转方向决定问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度 弧度化角度360 rad 2 rad 180 rad rad 1 rad1801 rad (180 )探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题 1 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即 360)的弧度数为 2”这一事实化简上述公式(设半径为 r，圆心角弧度数为 )答 半径为 r，圆心角为 n的扇形弧长公式为 l ，扇形面积公式为 S 扇 .n r180 n r2360 ， l| |r.l2 r | |2 ， S 扇 | |r2.S扇S
5、圆 S扇 r2 | |2 12 ， S 扇 | |r2.S扇S圆 S扇 r2 | |2 12问题 2 角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为 R，弧长为 l， (0 2)为其圆心角，则度量单位类 别 为角度制 为弧度制扇形的弧长 l_ l 扇形的面积 S_ S_ r180 逆时针方向r 逆时针方向2r 顺时针方向探究点三 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与 终边相同的角连同 在内可以表示为 2k (kZ)，其中 的单位必须是弧度问题 1 利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置 角的集合x 轴y 轴坐标轴问题 2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合
6、. 终边所在的象限 角 的集合【典型例题】例 1 (1)把 11230化成弧度；(2)把 化成角度712解 先将 11230化为 112.5，然后乘以 rad，即可将 11230化成弧度，180乘以 即可化为角度712 (180 )所以，(1)11230112.5 .(2252) 2252 180 58(2) 105.712 712 (180 )小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 即可(180 )跟踪训练 1 将下列角按要求转化：(1)300_rad； (2)2230_rad； (3) _度85例 2 已知一
7、扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为 ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S， S lr (402 r)r20 r r2( r10) 2100.12 12当半径 r10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm2，此时 rad2 rad.lr 40 21010所以当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面积最大为 100 cm2.小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二
8、次函数的最值问题跟踪训练 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求圆心角的弧度数解 设扇形的半径为 R，弧长为 l，则 2R l4， l42 R，根据扇形面积公式 S lR，12得 1 (42 R)R，12 R1， l2， 2，lR 21即扇形的圆心角为 2 rad.例 3 把下列各角化成 2k (0 2， kZ)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500； (2) ； (3)4.236解 (1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10 ，是第四象限角53(2) 2 ，236 116(3)42(24)， 24. 2小结 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混
9、用跟踪训练 3 将1 485化为 2k (0 2， kZ)的形式是_解析 1 4855360315，1 485可以表示为10 .74课后小练1时针经过一小时，时针转过了 ( )A rad B rad C rad D rad 6 6 12 12解析 时针经过一小时，转过30，又30 rad，故选 B. 62若 3，则角 的终边在 ( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 3 rad3571817154，而17154为第三象限角， 3 为第三象限角3已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是( )A1 B4 C1 或 4 D2 或 4解析 设扇形半径为
10、r，中心角弧度数为 ，则由题意得Error!，Error!或Error!.4把 表示成 2 k( kZ)的形式，使| |最小的 值是114_解析 2 2(1) . .114 ( 34 ) ( 34 ) 34课后小结1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数 rad弧度数，弧度数 度数180 (180 )3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
