1、第 8 讲 高考中常用数学的方法-配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二
2、、例题解析例 1已知长方体的全面积为 11,其 12条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A) (B) (C)5 (D)63214分析及解：设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得：2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为 ,因此需将对称式22zyx写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段22zyx是配方法.故 =62-11=25 )(2)(2 xzyzyx ,应选 C.52例 2设 F1和 F2为双曲线 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足142yxF 1PF2=90,则 F 1PF2的
3、面积是( ). (A)1 (B) (C)2 (D)55分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什么呢？|212PFSFP由F 1PF2=90,得 (2),0|1又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,16|2| 212121 PFPFPF故 4)|(|2 , 选(A).|121SFP注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例 3设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 ,已知点 P(0,5)到25该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线方程.
4、分析及解：由题意可设双曲线方程为 , ,a=2b,因此所求双12baye曲线方程可写成： (1),故只需求出 a 可求解.224axy设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y ),则|PQ|= (2),点 Q(x,y)在双22)5(yx曲线上,(x ,y)满足(1)式 ,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ| 2表24示为变量 y 的二次函数 ,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有 (ya 或 y- a).45)(4| 222yPQ二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 ya 或 y-a,因此,需对 a4 与 a4分类讨论.(1)当 a4 时,如图(1)可知函数在 y=4 处取得最
5、小值,令 ,得 a2=4452所求双曲线方程为 .12xy(2)当 a4时,如图(2)可知函数在 y=a 处取得最小值,令 ,得 a2=49,45)4(22所求双曲线方程为 .192xy注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数 a 有关,因此需对字母 a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例 4设 f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又 ,试124)(1xf求 f(x)的表达式 .分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数 y=f(x)
6、=ax+b (a0),可知 ,)(1)bxaf .24(1)1) 21 xf比较系数可知： )2(1)(042ba且解此方程组,得 ,b=2,所求 f(x)= .1例 5如图,已知在矩形 ABCD 中,C(4,4),点 A 在曲线 (x0,y0)上移92yx动,且 AB,BC 两边始终分别平行于 x 轴,y 轴,求使矩形 ABCD 的面积为最小时点 A 的坐标.分析及解：设 A(x,y),如图所示,则 (4-x)(4-y) (1)ABCDS此时 S 表示为变量 x,y 的函数 ,如何将 S 表示为一个变量 x(或 y)的函数呢？有的同学想到由已知得 x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解
7、出 x(或 y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到 S=16-4(x+y)+xy (2)这时我们可联想到 x2+y2与 x+y、xy 间的关系,即(x +y)2=9+2xy.因此,只需设 t=x+y,则 xy= ,代入(2)式得 S=16-9t4t+ (3)S 表示为变量 t 的二次函数,27)4(129t00 且方程 化为 t2-2t+a=0 (*),A 中有且只有一1个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令 f(t)=t2-2t+a,则 =0 或 即 a=1 或 a0,从而 B=(- ,01.0)(f (2)当 a=1 时, 0 恒成立 ,故 4.g14)(综上讨论,x 的取值范围是( ,4).13
