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等腰三角形.doc.doc

1、等腰三角形锁定目标考试考标要求 考查角度1.了解等腰三角形的有关概念,掌握其性质及判定2了解等边三角形的有关概念,掌握其性质及判定3掌握线段垂直平分线的性质及判定4掌握角平分线的性质及判定.等腰三角形的概念、性质、判定是中考考查的重点内容,在选择题、填空题、解答题中均有出现;等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线也经常考查.导学必备知识知识梳理一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形;等腰三角形分为腰和底_的等腰三角形和_三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等( 简称为“等边对等角”);(2)等

2、腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一” );(3)等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定如果一个三角形有 两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)二、等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质(1)等边三角形的内角相等,且都等于_;(2)等边三角形的三条边都_2等边三角形的判定(1)_相等的三角形是等边三角形;(2)_ _相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为_的等腰三角形是等边三角形三、线段的垂直平分线1概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫_2性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距

3、离_3判定:到一条线段的两个端点_的点在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合四、角的平分线1性质:角平分线上的点到角的两边的距离_2判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的_上,角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合自主测试1(2012 江西南昌)若等腰三角形的顶角为 80,则它的底角是( )A20 B50 C60 D802(2012 广东广州)如图,在等边ABC 中,AB6,D 是 BC 上一点,且BC3BD ,ABD 绕点 A 旋转后得到ACE,则 CE 的长度为_3如图,在ABC 中,C90,AD 平分CAB,AD5,AC4,则 D 点

4、到 AB的距离是_4等腰三角形一腰长为 5,一边上的高为 3,则底边长为_探究重难方法考点一、等腰三角形的性质与判定【例 1】 已知:点 O 到ABC 的两边 AB,AC 所在直线的距离相等,且 OBOC (1)如图甲,若点 O 在边 BC 上,求证:ABAC;(2)如图乙,若点 O 在ABC 的内部,求证:ABAC ;(3)若点 O 在 ABC 的外部,ABAC 成立吗?请画图表示解:(1)证明:过点 O 分别作 OEAB,OFAC,E,F 分别是垂足,由题意知,OEOF,OB OC,RtOEBRtOFC,BC,从而 ABAC (2)证明:过点 O 分别作 OEAB,OFAC,E,F 分别是

5、垂足,由题意知,OEOF .在 RtOEB 和 RtOFC 中,OE=OF,OB=OC,RtOEBRtOFCOBE=OCF.又由 OB=OC 知OBC= OCB,ABC=ACB,AB=AC(3)不一定成立当 A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时,有 AB=AC;否则,ABAC,如示例图方法总结 1.要证明一个三角形为等腰三角形,须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等,两种方法往往都需要证明三角形全等2若三角形中出现了高线、中线或角平分线,有时可以延长某些线段,构造出等腰三角形,然后用“三线合一”性质去处理触类旁通 1 如图,已知 ACBC,BDAD,AC 与 BD 交于 O,A

6、C=BD求证:(1)BC=AD ;(2)OAB 是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与判定【例 2】 (1)如图甲,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD,连接 AC 和 BD,相交于点 E,连接 BC 求AEB 的大小(2)如图乙,OAB 固定不动,保持OCD 的形状和大小不变,将 OCD 绕着点 O 旋转(OAB 和 OCD 不能重叠 ),求AEB 的大小分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于 60的性质全等是解决这类问题最常见的方法解:(1)如图甲DOC 和ABO 都是等边三

7、角形,且点 O 是线段 AD 的中点,ODOCOBOA,1260,45.又45260,430. 同理, 630.AEB 46,AEB60.(2)如图乙图乙DOC 和ABO 都是等边三角形, ODOC,OB OA,1260.又ODOA , ODOB , OAOC,45,67.DOB 1 3,AOC 23,DOB AOC45DOB180,67AOC180,2526,56.又AEB 85,826,AEB 2552,AEB 60.方法总结 1.等边三角形的各边相等,各角相等,所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等2等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心(四心合一)触类旁通

8、2 已知,如图,延长ABC 的各边,使得 BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E , F,得到 DEF 为等边三角形求证:(1)AEFCDE;(2)ABC 为等边三角形考点三、线段的垂直平分线【例 3】 如图,ABC 的周长为 30 cm,把ABC 的边 AC 对折,使顶点 C 和点 A重合,折痕交 BC 边于点 D,交 AC 边于点 E,连接 AD,若 AE=4 cm,则ABD 的周长是( )A22 cm B20 cm C18 cm D15 cm解析:由题意可知 DE 为 AC 的垂直平分线,所以 ADCD,AC2AE8 cm.因为ABC 的周长为 30 cm,所以 ABBCAC30

9、cm,所以 ABBC 22 cm.所以ABD 的周长为 ABBD ADABBC22 cm.答案:A方法总结 1.线段垂直平分线的性质有两个:(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段2线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现,且常与三角形的周长结合命题触类旁通 3 如图,在 RtABC 中,C=90,CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D,若DE 垂直平分 AB,求B 的度数考点四、角的平分线【例 4】 如图,已知 CD AB 于点 D,BE AC 于点 E,且 CD,BE 相交于点 O. 求证:(1)当12 时,OB OC

10、;(2)当 OBOC 时,12.证明:(1)12,CD AB,BEAC ,OE OD 34,CEOBDO90,OECODB OB OC(2)34,CEOBDO 90 ,OB OC,OEC ODB OEOD CDAB ,BE AC,OA 平分CAB 12.方法总结 在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线触类旁通 4 如图,OP 平分 AOB,PAOA,PBOB ,垂足分别为 A,B 下列结论中不一定成立的是( ) APAPB BPO 平分APB COAOB DAB 垂直平分 OP品鉴经典考题1(2012 湖南怀化)等腰三角形的底边长为 6,底边上的中线长为 4,它的

11、腰长为( )A7 B6 C5 D42. (2012 湖南常德)如图,在 RtABC 中,C 90,A D 是BAC 的平分线,DC2,则点 D 到 AB 边的距离是 _3(2012 湖南湘潭)如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,将ABC 沿直线 BC 向右平移,使 B 点与 C 点重合, 得到DCE,连接 BD,交 AC 于点 F.(1)猜想 AC 与 BD 的位置关系,并证明你的结论;(2)求线段 BD 的长4. (2012 湖南娄底)如图,在ABC 中,ABAC ,B 30,BC8,D 在边 BC 上,E 在线段 DC 上,DE4, DEF 是等边三角形,边 DF 交边 AB 于点

12、M,边 EF 交边 AC于点 N. (1)求证:BMDCNE;(2)当 BD 为何值时,以点 M 为圆心,以 MF 为半径的圆与 BC 相切?(3)设 BDx,五边形 ANEDM 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数解析式 (要求写出自变量 x 的取值范围 );当 x 为何值时,y 有最大值?并求 y 的最大值研习预测试题1. 如图,坐标平面内有一点 A(2,-1) ,O 为原点,P 是 x 轴上的一个动点,如 果以点P,O,A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点 P 的个数为( )A2 B3 C4 D52如图所示,A,B,C 分别表示三个村庄,AB1 000 米,BC600

13、米,AC 800 米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心 P 的位置应在( ) AAB 中点 BBC 中点 CAC 中点 DC 的平分线与 AB 的交点3在ABC 中,B 和C 的平分线交于点 F,过点 F 作 DFBC,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,若 BDCE 9,则线段 DE 的长为( )A9 B8 C7 D64如图,P,Q 是ABC 边 BC 上的两点,且 QCAPAQBPPQ ,则BAC ( ) A125 B130 C90 D1205. 如图,在ABC 中,BC=8 ,AB 的中垂线交 BC 于点

14、D,AC 的中垂线交 BC 于点E,则 ADE 的周长等于_.6如图,已知ABC 是等边三角形,点 B,C,D,E 在同一直线上,且CGCD,DFDE,则E_度7已知等腰ABC 的周长为 10,若设腰长为 x,则 x 的取值范围是_8如图所示,在ABC 中,D,E 分别是边 AC,AB 上的点,BD 与 CE 交于点 O,给出下列三个条件:EBODCO;BEOCDO;BE CD (1)上述三个条件中,哪两个条件可判定ABC 是等腰三 角形(用序号写出所有情况) ;(2)选择第(1)小题中的一种情况,证明ABC 是等腰三角形参考答案【知识梳理】一、1.不相等 等边二、1.(1)60 (2)相等2

15、(1)三条边 (2) 三个角 (3)60三、1.中垂线 2.相等 3.距离相等四、1.相等 2.平分线导学必备知识自主测试1B 因为等腰三角形的顶角为 80,所以底角(1 8080)250.22 在等边三角形 ABC 中,AB6,BCAB6.BC3BD,BD BC2.13ABD 绕点 A 旋转后得到ACE,ABDACE,CEBD2.33 在 RtADC 中,CD 3,AD2 AC2D 点到 AB 的距离 CD3.48 或 或 310 10探究考点方法触类旁通 1.证明:(1)AC BC,BD AD,DC90.在 Rt ACB 和 RtBDA 中, ABBA,ACBD,ACBBDA(HL) BC

16、AD.(2)由ACB BDA 得CABDBA.OAB 是等腰三角形触类旁通 2.证明:(1)BFAC,AB AE, FAEC.DEF 是等边三角形,EFDE .又AECD,AEFCDE.(2)由AEFCDE,得FEAEDC.BCAEDCDECFEA DECDEF ,DEF 是等边三角形,DEF60,BCA60.同理可得BAC60.ABC 中,AB BC.ABC 是等边三角形触类旁通 3.解:AD 平分 CAB,CADBAD.DE 垂直平分 AB,AD BD,BBAD.CADBADB .在 RtABC 中,C90,CADDAEB 90.B30.触类旁通 4.D品鉴经典考题1C 腰长 5.32 4

17、2 2522 过点 D 作 DEAB ,由角平分线的性质得 DEDC2. 3解:(1)AC 和 BD 互相垂直平分,证明如下:连接 AD,由平移的性质可得 ABCD,ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形又ABBC,平行四边形 ABCD 是菱形AC 和 BD 互相垂直平分(2)由(1)可得,在 RtBCF 中,BFBCsinBCF .332故 BD2BF3 .34(1)证明:ABAC ,BC .DEF 是等边三角形 ,FDEFED .而FDEBDMB,FEDC ENC,DMBENC .BMDCNE .(2)解:设 BD x,则 DMx ,作 MH DE 于点 H,得 MH x,MF4x ,3

18、2又由题设知 MHMF,得 x 4x,解得 x168 .32 3当 BD168 时,以点 M 为圆心,以 MF 为半径的圆与 BC 相切3(3)解:由 BD x,DE4,BC8 得 EC4x,则 EN EC4x.yS ABC S BDM S ECN x2 (4x) 2 x22 x .163 3 34 34 32 3 433由 M,N 分别在线段 AB,AC 上,得 BMAB,CNAC,则Error! 解得 x .43 83当 x2 时,y 有最大值,最大值为 .1033研习预测试题1C 因为 x 轴负半轴有一个点,x 轴正半轴有三个点,所以符合条件的动点 P 的个数为 4.2A3A BF 平分 ABC ,如图,ABF CBF.CF 平分ACB,ACFBCF.DFBC,DFBCBF,EFC BCF.ABF DFB,ACFEFC .BDDF ,EFCE.DEDF EFBD CE9.4D58 因为ADE 的周长ADDE AE BD DEEC8.6157. x5 由三角形的三边关系得Error!52解得 x5.528解:(1);.(2).证明:EBODCO, EOBDOC,BE CD ,BEOCDO.OB OC.OBCOCB.EBOOBCDCO OCB,即ABCACB.AB AC.ABC 为等腰三角形

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