1、2.1.2 函数的表示方法1函数的表示方法(1)列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法比如，某水库的存水量 Q 与水库最深处的水深 H 的关系如下表所示：水深 H/m 5 10 15 20 25来源:30 35存水量 Q/104m3 25 42 85 164 275 437 650从表中可以看出，每一深度 H 都对应唯一的一个存水量 Q，这个表给出了 H 与 Q 之间的对应法则，也就是函数关系(2)图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比) 与天数之间的函数关系(3)解析法(公式法 )如果在函数 yf( x)(x
2、A)中，f (x)是用代数式(或解析式) 来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法 )比如，计划建成的京沪高速铁路总长约 1 305 千米，设计时速 300350 千米/时建成后，若京沪高速铁路时速按 300 千米/时计算，火车行驶 x 时后，路程为 y 千米 ，则 y 是 x的函数，可以用 y300x 来表示，其中 y300x 叫做该函数的解析式(4)函数的三种表示方法的优缺点比较表示方法 优点 缺点列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量可以一一列出的函数关系图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，
3、而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来(5)用描点法作函数图象的步骤列表：先找出一些(有代表性的 )自变量 x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来描点：从表中得到一系列的点(x，f(x)，在坐标平面上描出这些点连线：用平滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来【例 11】某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：100 kg) 如表所示：月份 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9来源:10 11
4、 12零售量 y 81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123则零售量是否为月份的函数？为什么？解：零售量是月份的函数因为对于集合1,2,3，12中任一个值，由表可知 y 都有唯一确定的值与它对应，据函数的定义可知 y 是 t 的函数【例 12】已知某人骑车的速度是 10 千米/时，若他骑车时间为 x 时，其行驶路程为y 千米，试求 y 关于 x 的函数关系，分别用解析法和图象法表示解：用解析法表示为 y10x (x0)用图象法表示，如图所示2分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数谈重点 学
5、习分段函数的六要点1分段函数的解析式在形式上尽管 会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关 系来确定2画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点“ ”表示，若端点不包含在内，则用空心点 “。 ”表示3分段函数的标准形式是 写分段函数时，注意其定义域的123(),fxabcffd端点应不重不漏4分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，这一点与函数 y 的x 1 1 x定义域的求法不相同，如函数 yError!的定义域为x|0 x1 x|x1x |x0 分段函数的值域也是各段上的函数值组成的集合的并集5分
6、段函数的图象由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等6求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则(2)分段函数图象的画法画分段函数 yError! Error!的图象的步骤是：画函数 yf 1(x)的图象，再取其在区间 D1 上的图象，其他部分删去不要；画函数 yf 2(x)的图象，再取其在区间 D2 上的图象，其他部分删去不要；依次画下去；将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象例如：画函数 yError! 的图象的步骤是：第一步，画二次函数 y( x1) 2 的图象，再取其在
7、区间( ，0上的图象，其他部分删去不要；第二步，画一次函数 yx 的图象，再取其在区间(0， )上的图象，其他部分删去不要；第三步，这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象(如图所示) 【例 21】已知函数 来源:21()=,.xf2又1a1，所以 a1；当 a1 时，由 11，得 0a ，又 a1，所以此时 a 不存在综上可知，a2，或 a1.2【例 63】求函数 y|x1|x 2|的值域分析：函数解析式中含有绝对值符号，直接求其值域难度较大可根据绝对值的意义，分情况去掉绝对值符号，再研究其值域解： 当 x 1 时，y (x1)(x2) 2x 1；当1x2 时，y (x 1)(x2) 3；当
8、 x2 时，y(x 1)(x2) 2x 1，函数 y| x1| |x2| 可化为分段函数21,=3,.xy它的图象如图所示所以函数的值域为3，) 【例 64】已知函数 yf( x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式分析：图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点解：根据图象，设左侧的射线对应的解析式为 ykxb(k0，x1)，将点(1,1) ，(0,2)的坐标代入得 解得=1,2kb,2.k左侧射线对应的函数解析式为 yx 2( x1)；同理，x3 时，函数的解析式为yx2.Ay |x1|(0 x 2)32By |
9、x1|(0x 2)Cy |x1|(0x 2)Dy1|x 1|(0x 2)解析：函数的图象由两条线段组成，若直接求其解析式，则较麻烦可采用特殊值代入法验证选项，将原点(0,0)代入，可排除选项 A，C ；再将点 代入，又可排除 D，故31,2选 B .答案：B再设抛物线对应的二次函数解析式为 ya(x2) 22(1 x3，a0) ，点 (1,1)在抛物线上，a21，a1.抛物线对应的函数的解析式为 yx 24x2(1 x 3)综上可知，函数的解析式为13.， ， ， ，析规律 由图象求函数解析式由图象求函数的解析式的基本方法是充分挖掘图中所提供的图象形状以及特殊点的坐标，如本例中点(1,1)，(0,2) ， (2,2)，(3,1)，(4,2)的信息，可利用待定系数法求解析式
