1、指数函数例题解析【例 1】求下列函数的定义域与值域：()y3(2)y(3)y2x 12 1x x解 (1)定义域为 xR 且 x 2值域 y0 且 y1(2)由 2x+210，得定义域 x|x2，值域为 y0(3)由 33 x-1 0，得定义域是 x|x2，033x13， 值 域 是 y3【例 2】指数函数 ya x，yb x，yc x，yd x 的图像如图 262 所示，则 a、b、 c、d、1 之间的大小关系是 Aab1cd Ba b1 dcC ba1 dc Dcd1ab解 选(c)，在 x 轴上任取一点 (x，0)，则得 ba1d c【例 3】比较大小：(1)20.6、 、 、 、 的
2、大 小 关 系 是 ： 481632594()(3)4.54.1_3.73.6解 (1)y2()x ， ， ， ， ，函 数 ， ， 该 函 数 在 ， 上 是 增 函 数 ，又 ， 4281623854921231539493859解 (2)0.61. ， ， 451245233()解 (3)借助数 4.53.6 打桥，利用指数函数的单调性， 4.54.14.5 3.6，作函数 y14.5 x，y 23.7 x 的图像如图 263，取 x3.6，得 4.53.63.7 3.6 4.5 4.13.7 3.6说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例
3、 2 中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点，即为 4.53.6(或 3.74.1)，如例 2 中的(3) 【 例 4】解 比 较 大 小 与 且 ， 当 ， ， ，aannn111 1(a0n1)00()() ， 当 时 ， ， ， ， aanaann11111()() ()0【例 5】作出下列函数的图像：(1)y(2)yx ，21x(3)y2 |x-1| (4)y|1 3x| 解 (1)y(264)(0)(1)1 的 图 像 如 图
4、 ， 过 点 ， 及 ， 是 把 函 数 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 得 到 的 2 21x解 (2)y2 x2 的图像(如图 265) 是把函数 y2 x 的图像向下平移2 个单位得到的解 (3)利用翻折变换，先作 y2 |x|的图像，再把 y2 |x|的图像向右平移1 个单位，就得 y2 |x-1|的图像 (如图 266) 解 (4)作函数 y3 x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y3 x 的图像，再把 y3 x 的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到( 如图 267)【 例 6】解
5、求 函 数 的 单 调 区 间 及 值 域 令 ， 则 是 关 于 的 减 函 数 ， 而 y u56uux5x2562 2()()34u 在 ， 上 是 减 函 数 ， 在 ， 上 是 增 函 数 函 数 的 单 调 增 区 间 是 ， ， 单 调 减 区 间 是 ， 6xxy256()()5234 2又 ，函 数 ， 在 ， 上 是 减 函 数 ，所 以 函 数 的 值 域 是 ， ux56yu2x256()()(51434018324【 例 7】解 求 函 数 的 单 调 区 间 及 它 的 最 大 值 ， 令 ， ， ， 又 是 ， 上 的 减 函 数 ， 函 数 y1(x0) ux0
6、0u1x0)y()()()() ()142234121 122xx u3422142在 ， 上 为 减 函 数 ， 在 ， 上 是 增 函 数 但 由 得 ， 由 ， 得 ， 函 数 单 调 增区 间 是 ， ， 单 调 减 区 间 ， 10x110xy1)() xx x当 x0 时，函数 y 有最大值为 1【 例 8】 已 知 f(x)(a)(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间(， ) 上是增函数解 (1)定义域是 Rf(x) f(x) ，ax1函数 f(x)为奇函数(2)yy1a1yx函 数 ， ， 有 ，ayx10即 f(x)的值域为(1，1)(3)设任意取两个值 x1、x 2( ，)且 x1x 2f(x 1)f(x 2) ， ， ， ， ， ， 故 在 上 为 增 函 数 aaaaxl lx xx12 12 a()()0f()f()R12
