1、揭阳市2017届高中三年级学业水平考试数学（文科）本试卷共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合 ZkxM,12， Z
2、kxN,2，则（A） N（B） （C） M（D） N（2）复数 z 满足(1i)zi2，则 z 的虚部为（A） 3 （B） 2 （C） 12 （D） 12i（3）设 ,abR，则“ 0ab”是“ ab”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）已知等差数列 na的前 n 项和为 nS，且 3215S,则数列 na的公差为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6（5）已知 cos5， 3(,2)，则 cos()4（A） 7210（B） 710（C） 210 （D） 210（6）若空 间 四 条 直 线 a、 b、 c、 d， 两 个 平 面 、
3、 ， 满 足 ba， dc， a， c， 则（A） /（B） （C） /（D）b 与 d 是异面直线（7）对 于 任 意 的 非 零 实 数 m， 直 线 2yx与 双 曲 线 0,12yx有 且 只 有 一个交点，则双曲线的离心率为（A） 5 （B） 5 （C） 2 （D）MMM FFF EEE DDD（8）已知曲线 axf2ln)(在点 (1,)f处的切线的倾斜角为 34，则 的值为（A）1 （B）4 （C） 2 （D）1（9）阅读如图 1 所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A）242 （B）274（C）275 （D）338 图 1（10） 函数 ,|,sinxy的大致图象是（A
4、） （B） （C） （D）（11）在 BC中，有正弦定理： sinisinabcA定值，这个定值就是 ABC的外接圆的直径如图 2 所示， DEF中，已知 DF，点 M在直线 EF上从左到右运动（点 M不与 E、 F重合） ，对于 M的每一个位置，记 E的外接圆面积与 的外接圆面积的比值为 ，那么（A） 先变小再变大 （B）仅当 为线段 的中点时， 取得最大值 （C） 先变大再变小 （D） 是一个定值图 2（12）已知 ,abR、 且 290ab，若 为 2ab的最小值，则约束条件20,.yxx所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（A）9 （B）13 （C）16 （D）1
5、8-xyO -xyO -xyO -xyO第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题 第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22) 题 第(23) 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上（13）已知向量 )1,(a， )2,(nb，若 3ab，则 n （14）偶 函 数 fx的 图 象 关 于 直 线 3x对 称 ， (4)f，则 (2)= （15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合 ， 十 分 巧 妙 ， 外 观
6、看 是 严 丝 合 缝 的 十 字 立 方 体 ， 其 上 下 、 左 右 、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图 3经 90榫 卯 起 来 ， 如 图 3， 若 正 四 棱 柱 体 的 高 为 6， 底 面 正 方 形 的 边 长 为 1， 现 将 该 鲁 班 锁 放 进一 个 球 形 容 器 内 ， 则 该 球 形 容 器 的 表 面 积 的 最 小 值 为 （ 容 器 壁 的 厚 度 忽 略 不 计 ） （16）直线 :42lxy与圆 2:1Cxy交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA 、OB 的倾斜角分别为 、 ，则 cos= 三、解答题：解答应写出文
7、字说明，证明过程或演算步骤.（17） （小题满分 12 分）已知递增数列 na的前 项和为 nS，且满足 2na（I）求 n；（II）设 12b，求数列 b的前 项和 T（18） （本小题满分 12 分）如图 4，在四棱锥 ABCDP中， O，ADBC，ABAD ，AO=AB=BC=1，PO= 2， 3P（I）证明：平面 POC平面 PAD；（II）若 CD= 2，三棱锥 P-ABD 与 C-PBD 的体积分别为 1V、 ，求证 12V 图 4 （19） （本小题满分 12 分）某 次 数 学 测 验 后 ， 数 学 老 师 统 计 了 本 班 学 生 对 选 做 题 的 选 做 情 况 ，
8、得 到 如 下 表 数 据 ：(单 位 ： 人 )坐标系与参数方程 不等式选讲 合计男同学 8 30女同学 8合计 20（I）请完成题中的 2列联表；并根据表中的数据判断，是否有超过 97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程” 或“ 不等式选讲 ”与性别有关？（II）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程” 所用的时间为区间5,7内一个随机值（单位：分钟） ，解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间 6,8内一个随机值（单位：分钟） ，试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率附表及公式： 22nadbcKd2Pk0.15 0.10 0.05
9、 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（20） （本小题满分 12 分）已知圆过点 )0,43(A，且与直线 43:xl相切，（I）求圆心 C 的轨迹方程；（II） O 为 原 点 ， 圆 心 C 的 轨 迹 上 两 点 M、 N（ 不 同 于 点 O） 满 足 0NM，已知13PM，OQN，证明直线 PQ 过定点，并求出该定点坐标和APQ 面积的最小值（21） （本小题满分 12 分）已知函数 (2)xfea.( R)（I）试确定函数 的零点个数；（II）设 12，x是 函 数 f的 两 个 零 点
10、 ， 证 明 ： 12x参 考 公 式 ： 为 常 数 ）texxt()(请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分（22） （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为 sin1cotyx（ t为参数） 以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2（I）写出直线 l 经过的定点的直角坐标，并求曲线 C的普通方程；（II）若 4，求直线 l的极坐标方程，以及直线 l 与曲线 的交点的极坐标（23） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 |2|1|)(xmxf （I）若
11、，求函数 )(f的值域；（II）若 ，求不等式 3的解集 B(x2,y2) A(x1,y1)oy x213 3-3 oy x数学(文科)参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C A C D B A D B C D C解析：（12）由 290ab结合 2ab得223()3（当且仅当 时等号成立）故 M,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内，在 x 轴上整点有 7 个，在直线 x=1 上有 5 个，在 x=2 上有 3 个， 在 x=3 上有 1 个，共 16 个.二、填空题：题号 13 14 15 16答案 34 147解析：（16
12、）设 12(,)(,)AxyB，由三角函数的定义得：cos由 24,.消去 y 得： 21740x，则 1247x，即 4cs17.三、解答题：（17）解：（）当 n时， 21Sa，解得 1；-1 分当 时，由 2n，得 2n，两式相减，得 11，即 210nna，即 1()()0nna数列 为递增数列， 1a， 1n，-4 分 数列 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，故 n；-6 分（） nnb2)(，nT23 1 ，n= 3 1n ，-8 分两式相减，得 132 24nT11nn，-11 分，12n*N-12 分（18）解：（）在四边形 OABC 中，AO/BC，AO=BC，ABAD，
13、四边形 OABC 是正方形，得 OCAD，-2 分在POC 中， 22PCO，OCPO，-4 分又 OADP，OC平面 PAD，又 C平面 POC，平面 POC平面 PAD；-6 分()由( )知,四边形 ABCO 为正方形， OC =AB=1, OCOD-8 分 21， 从而 2AD, -9 分设点 P 到平面 B的距离为 h，平行线 BC 与 AD 之间的距离为 1， 12312 BCSVBCDABCDA -11 分即 -12 分其它解法请参照给分（19）解：（1） 列联表如下坐标系与参数方程 不等式选讲 合计男同学 22 8 30女同学 8 12 20合计 30 20 50-3 分由表中
14、数据得 2250150.6.02439K，查表可知，有超过 97.%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关；-6 分（2）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要 x分钟，解答一道“不等式选讲” 需要 y分钟，-7 分记“甲在考试中选做 坐标系与参数方程 比选做不等式选讲所用时间更长”为事件 A，则总的基本事件构成区域 57,68，- 9 分而满足事件 A的基本事件构成区域为 8675, yxyx， ， -10 分即图中阴影部分，由几何概型知 128PA， 即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率为 1812 分（20）解：（）法一：由已知得
15、圆心 C 的轨迹是以 A 为焦点，l 为准线的抛物线， 由 432p得 xpy32，得圆心 C 的轨迹方程为 xy32；-3 分【法二：设圆半径为 R，圆心 C(x, y)，则| AC|=R= |)4(|x，即 2)43(x= |4|，化简得 y32即圆心 C 的轨迹方程为 xy3-3 分】（）证明：依题意知 OM 的斜率 k 存在，且 0，设 OM 的方程为 kxy， -4 分OM ON，则 ON 的方程为 xky1，由 xyk32得 x2，得 23M，-6 分同理得 N，由已知得 21kP， 2N， )1,(2kP， ),(2kQ，-8 分 22kPQ，直线 PQ 的方程为 y)(122k
16、x，即 0)1()yx，直线 PQ 过定点（1，0） ，-10 分设 B（1，0） ，则 |42|2kyABSQPPQ 4128|)|(8k，APQ 面积的最小值为 4-12 分【证法二：设 12,MxyN， M的方程为 xtym由 23xtym 得 230t，-4 分则 90t，且 1212,3ty-5 分 O， x-6 分即 212y，解得 129，所以 9m，解得 3- 7 分 MN的方程为 3ty，则直线 MN过定点 E3,0-8 分设 PQ与 x轴相交于点 F,3OO， /PQ1|EF，可得 1，则 ,0F，故 P过定点 1,0F-10 分221936224344APQPQSyytA
17、PQ 面积的最小值为 .-12 分】（21）解：（I）由 0)(xg得 ()xae，令 ()xge，函 数 f的 零 点 个 数 即 直 线 y与 曲 线 2的 交 点 个 数 ， ()(2)(1)xxxe，-2 分由 0g得 ，函数 g在 ,单调递增，由 得 ，函数 在 上单调递减，当 1时，函数 ()有最大值， max()(1)ge，-3 分又当 2x时， 0， 20，当 2时 0，当 ae时，函数 ()fx没有零点；-4 分当 或 0时，函数 有一个零点；-5 分当 时，函数 有两个零点- 6 分（II）证明：函数 ()f的零点即直线 ay与曲线 ()2)xge的交点横坐标，不妨设 12
18、x，由（I）知 12,x，得 1x，函数 ge在 ()上单调递增，函数 f)(在 ,单调递减，要证 12，只需证 21， -7 分只需证 (2xfx，又 0)(1f，即要证 0)2(xf，-8 分由 )(ga得 2 2)xeaee， （ 1）-9 分令 2he，则 )xh，-10 分当 1时， x， (，即函数 (在 1,)上单调递减， ()0x， 当 21时， 20f，即 2-12 分【证法二：由（）知， a，不妨设 x，设 fF)(xf，则 xxeF)()，-8 分)(1(2xe，易知 ey2是减函数，当 x1 时， 0，又 1-x )2.-10 分由 2得 )(2f )2xf，又 12f
19、，所以 )(12xff，由 )ge在 (,上单调递增，得 ag在 ,单调递减，又 1x， 1，即 ，得证 -12 分】（22）解：（）直线 l 经过定点 ),，-2 分由 2cos得 2cos(，得曲线 C的普通方程为 2xy，化简得 42xy；-5 分（）若 4，得 tyx21，的普通方程为 ， -6 分则直线 l的极坐标方程为 2cossin，-8 分联立曲线 C： co得 1sin，取 2，得 ，所以直线 l 与曲线 C的交点为 )2,( -10 分（23）解：（）当 m时， |2|1|)(xxf-1 分 3)| x， -3 分33，函数 (f的值域为 ,；- 5 分（）当 m= 1 时，不等式 f)(即 x|， -6 分当 x时，得 xx21，解得 51， ；-7 分当 2时，得 3，解得 ， 1；-8 分当 时，得 ，解得 ，所以无解；- 9 分综上所述，原不等式的解集为 )1,( -10 分
