1、5.2.2 反比例函数的图象与性质(二)教学目标：(一) 教学知识点1.进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.(二) 能力训练要求1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.(三) 情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.教学重点：通过
2、观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法.教具准备：多媒体课件教学过程：.创设问题情境，引入新课师 上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当 k0 时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当 k0 时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数 y= 与 y=- 的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限x4来研究了反比例函数的.我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当 k0 时，y 的值随 x 的增大而增大，当 k0
3、 时，y 的值随 x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与 x 轴，y 轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质. 新课讲解1.做做师 观察反比例函数 y= ，y= ,y= 的形式，它们有什么共同点?x24x6生 表达式中的 k 都是大于零的.师大家的观察能力非同一般呐! 下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着 x 值的增大.y 的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与 x 轴相交吗?可能与 y 轴相交吗？为什么？师 请大家先独立思考，再互相交流得出
4、结论.生(1)函数图象分别位于第一、三象限内.(2)从图象的变化趋势来看，当自变量 x 逐渐增大时，函数值 y 逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近 x 轴,y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与 x 轴y 轴相交.师 大家同意他的观点吗?生 不同意(3)小的观点.师 能解释一下你的观点吗？生 从关系式 y 中看,因为 x0，所以图象与 y 轴不可能能有交点；因为不论 x 取x2任何实数，2 是常数，y 永远也不为 0，所以图象与 x 轴心也不可能有交点.师 对于(1)和(3) 我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充下(2).观察函数 y 的图象，在第一象限我任取两点
5、 A（x 1,y1） ，B(x 2,y2)，分别向 x 轴,y 轴x2作垂线，找到对应的 x1,x2,y1,y2,因为在坐标轴上能比较出 x1 与 x2,y1 与 y2 的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知 x1x 2,y2y 1,所以在第一象限内有 y 随 x 的增大而减小.同理可知在其他象限内 y 随 x 的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.生 情况都一样.师 能不能总结一下.生当 k0 时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.2.议一议师刚才我们研究了 y ，y ,y= 的图象的性质，246下面
6、用类推的方法来研究 y- ，y- ,y=- 的图象xx有哪些共同特征?生(1)y=- ，y=- ，y=- 中的 k 都小于 0，它们的图象都位于第二，四象限，所以x24x6当 Ax2，y 1y2，所以x可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值 y 随自变量 x 的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交.师 通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：反比例函数 y 的图象，当 k0 时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而减小；xk当 k0 时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而增大.3.想一想(1)在一个反比例函数图象任取两点 P
7、、Q ，过点 Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1；过点 Q 分别作 x 轴 y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S 1 与 S2 有什么关系 ?为什么?(2)将反比例函数的图象绕原点旋转 180后.能与原来的图象重合吗 ?师在下面的图象上进行探讨.生设 P(x1,y1)，过 P 点分别作 x 轴，y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为 S1，则 S1=x 1y 1=x 1y1.(x 1,y1)在反比例函数 y 图象上，所以 y1 ，即 x1y1k.kkS 1k.同理可知 S2k，所以 S1S 2师从上面的图中可以看出，P、Q 两点在同一支曲线上，如
8、果 P，Q 分别在不同的曲线，情况又怎样呢?生S 1x 1y1=k，S2=x 2y2=k.师 因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点 P、Q. 不管 P、Q 是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过 P、Q 分别作 x.轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S 2，则有 S1S 2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转 180后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.课堂练习P137.课时小结本节课学习了如下内容.1.反比例函数 y 的图象，当 k0 时，在第一、三象限内，在每一象限内，y 的值随，xk值的增大而减小；当 kO 时，图象在第二、四象限内，y 的值
9、随 x 值的增大而增大.2.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，分别过 P，Q 作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1,S2，则有 S1S 2.3.将反比例函数的图象绕原点旋转 180后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形.4.反比例函数的图象既不能与 x 轴相交也不能与 y 轴相交,但是当 x 的值越来越接近于0 时，y 的值将逐渐变得很大；反之，y 的值将逐渐接近于 0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和 y 轴，但永远不会与 x 轴和 y 轴相交.课后作业习题 5.3.活动与探究反比例函数图象与三等分角历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.
10、任取一锐角POH，过点 P 作 OH 的平行线，过点 O 作直线，两线相交于点 M,OM交 PH 于点 Q，并使 QM=20P，设 N 为 OM 的中点.NP=NMOP,12=23.4=3，1=2 4.MOH POH.问题在于，如何确定线段 OM 两端点的位置，并且保证 O，Q ，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?帕普斯(Pappus，公元 300 前后) 给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角 AOB 置于直角坐标系中，角的一边 OA 与 y 的图象交于点 P，以 P 为圆心；以 2OP 为半径作x1弧交图象于点
11、R.分别过点 P 和 B 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M，连接 OM 得到MOB.(1)为什么矩形 PQRM 的顶点 Q 在直线 OM 上?(2)你能说明MOB AOB 的理由吗?31(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?解：(1)设 P、R 两点的坐标分别为 P(a1， ),R(a2, )则 Q(a1， )，M(a 2, ）.a2a1设直线 OM 的关系式为 ykx.当 xa 2 时，y= 1 =ka2,k= .y= x.12121a当 x=a1 时，y= 2Q(a 1， )在直线 OM 上.2a(2)四边形 PQRM 是矩形.PC= PR=CM.223.PC=OP，12，3=4，1=2 4，即MOB= AOB.3(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.
