1、111 正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正 弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。来源:过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知
2、两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程一.课题导入如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。来源:能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课探索研究 在初中，我们已 学过如何解直角三角形，下 面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 , sinaAcibBsin1cC则 iiic从而在直角三角
3、形 ABC 中， sinisinabcAB思考 1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成 立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3， （1）当 ABC 是锐角 三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsiniabB同理可 得 ， b aiicC从而 A c Bsinisi（2）当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导）思考 2：还有其方法吗？ CABBCA由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。（证法二）：过点 A 作单位向量 ， 由向量的加法可得
4、jAC ABC则 ()jBj jjCj00cos9cos9ABC ，即iniasinaA同理，过点 C 作 ，可得 从而jsinbcsiniabAB来源:sinc从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabsincC理解定理（1 ）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；sinaAsibkBsinckC（2） 等价于 ， ，siniabABicCiiaiibBsiaAincC思考：正弦定理的基本作用是什么？已 知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；i已知三角形的任意两
5、边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。siniaABb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。C032.A081.B42.9a解：根据三角形内角和定理，；08()001()06.根据正弦定理， ；0sin429si81.()3.abcmA根据正弦定理， 74.isi.Cc评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习：在 中，已知下列条件解三角形。AB（1） ， ， ， （2） ， ，4530cm160A45BCA Bjcm20例 2 在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长ABC20a8
6、b04A01精确到 1cm） 。解：根据正弦定理，因为 ，所以 ，或0sin8i4i .92ba 0B018064B016.B 当 时， ，06B00018()()7CA0sin2i73().4aCccmA 当 时， ，01600018()18(416)24B0sin2i13().4acc应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课堂练习第 4 页练习第 2 题。来源:思考题：在 ABC 中， ，这个 k 与 ABC 有什么关系？siniabAB(o)sinckC三.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ；iii 0isiniabckABC或 ， ，snakbkk()（2）正弦定理的应 用范围：来源:已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
