1、选修 1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程一、选择题1(2008上海)设 P 是椭圆 1 上的点，若 F1、F 2 是椭圆的两个焦点，则x225 y216|PF1| PF2|等于 ( )A4 B5C8 D10答案 D解析 椭圆长轴 2a10，| PF1|PF 2|2a10.选 D.2椭圆的两个焦点分别为 F1(8,0) ，F 2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A. 1 B. 1x236 y2100 x2400 y2226C. 1 D. 1x2100 y236 x220 y212答案 C解析 由 c8，a10，所以 b6.故标准方程为 1.所以选 C
2、.x2100 y2363椭圆 5x2ky 25 的一个焦点是(0,2)，那么 k 的值为( )A1 B1C. D5 5答案 B解析 椭圆方程 5x2ky 25 可化为：x 2 1，y25k又焦点是(0,2)，a 2 ，b 21，c 2 14，5k 5kk1.4两个焦点的坐标分别为( 2,0)，(2,0)，并且经过 P 的椭圆的标准方程是( )(52， 32)A. 1 B. 1x210 y26 y210 x26C. 1 D. 1x294y2254y294x2254答案 A解析 设 F1(2,0)，F 2(2,0)，设椭圆方程为 1(ab0)，由题意得，x2a2 y2b2|PF1|PF 2| (5
3、2 2)2 94 (52 2)2 942 2a，10a ，10又 c2，b 26，椭圆的方程为 1.x210 y265已知方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是( )x225 m y2m 9A98答案 B解析 由题意得Error! ，解得 8n，椭圆的焦点在 y 轴上，排除 B、D，又 nm， 无意义，m n排除 A，故选 C.7已知椭圆的两个焦点分别是 F1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得| PQ| PF2|，那么动点 Q 的轨迹是( )A圆 B椭圆C射线 D直线答案 A解析 |PQ|PF 2|且| PF1| PF2|2a，又F 1、P 、
4、Q 三点共线， |PF1|PQ |F 1Q|2a.即动点 Q 在以 F1为圆心以 2a 为半径的圆上8AB 为过椭圆 1 中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则AFB 的面积最大值x2a2 y2b2是( )Ab 2 BbcCab Dac答案 B解析 S ABF S AOF S BOF |OF|yAy B|，12当 A、B 为短轴两个端点时，| yAy B|最大，最大值为 2b.ABF 面积的最大值为 bc.9已知椭圆的方程为 1，焦点在 x 轴上，其焦距为( )x28 y2m2A2 B28 m2 22 |m|C2 D2m2 8 |m| 22答案 A解析 因为焦点在 x 轴上，所以 a28，b
5、 2m 2，因此 c ，焦距 2c28 m2.8 m210(2009陕西文，7)“m n0”是“方程 mx2ny 21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 本小题主要考查椭圆的基本概念和充要条件的概念方程 mx2ny 21 表示焦点在 y 轴上的椭圆 0mn0. 故选 C.1n 1m二、填空题11设椭圆 1 过点( 2， )，那么焦距等于_x2m2 y24 3答案 4 3解析 椭圆 1 过点(2， )，x2m2 y24 3m 216，c 216412,2c4 .312ABC 两个顶点坐标是 A(4,0)、B(
6、4,0)，周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是_答案 1(y 0)x225 y29解析 设 C 的坐标为(x ，y )，由题意知|CA| |CB|18810|AB |8，由椭圆定义得点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 10 的椭圆a5，c4，b3.顶点 C 的轨迹方程为 1( y0)x225 y2913已知点 P 是椭圆 1 上一点，以点 P 及焦点 F1，F 2 为顶点的三角形的面积x25 y24等于 1，则点 P 的坐标为_答案 ( ， 1)或( ，1)或( ，1) 或( ，1)152 152 152 152解析 设 P 点的纵坐标为 yp，则 SPF 1F2 |F1F2|yp
7、|1，由 c2a 2b 2得12c2541，所以 c1，所以 2|yp|1，所以| yp|1，代入椭圆方程求得横坐标1214椭圆 1 的两个焦点为 F1、F 2，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴x212 y23上，则| PF1|是|PF 2|的_倍答案 7解析 如图，PF1的中点 M 在 y 轴上，O 为 F1F2的中点，OM PF2，PF 2x 轴， |PF2| ，b2a 32|PF1|PF 2|2 a4 ，3|PF 1| 4 7|PF 2|.332 723三、解答题15求焦点在坐标轴上，且经过 A( ，2)和 B(2 ，1) 两点的椭圆的标准方3 3程解析 设所求椭圆方程
8、为：Ax 2By 21( A0，B0)将 A( ，2)和 B(2 ，1) 的坐标代入方程得3 3Error!，解得 Error!.所求椭圆的标准方程为： 1.x215 y2516若一个动点 P(x，y) 到两个定点 A(1,0)，A(1,0)的距离之和为定值 m，试求点P 的轨迹方程解析 因为|PA|PA|m ，| AA|2，| PA|PA |AA| ，所以 m2.当m2 时，P 点的轨迹就是线段 AA，所以其方程为 y 0(1x1)当 m2 时，由椭圆的定义知，点 P 的轨迹是以 A，A为焦点的椭圆，因为 2c2,2am ，所以a ，c1， b2a 2c 2 1，所以点 P 的轨迹方程为 1
9、.m2 m24 x2m24 y2m24 117求以椭圆 9x25y 245 的焦点为焦点，且经过点 M(2， )的椭圆的标准方程6解析 由 9x25y 245，得 1.y29 x25其焦点 F1(0,2)、F 2(0，2)设所求椭圆方程为 1.y2a2 x2b2又点 M(2， )在椭圆上，6 16a2 4b2又 a2b 24解得 a212，b 28.故所求椭圆方程为 1.y212 x2818已知 F1、F 2 是椭圆 1 的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若F 1PF2 ，x2100 y264 3求F 1PF2 的面积解析 设|PF 1|m，|PF 2| n.根据椭圆定义有 mn20，又 c 6，100 64在F 1PF2中，由余弦定理得m2n 22mncos 12 2，3m 2n 2mn144，(mn) 23mn 144，mn ，2563SF 1PF2 |PF1|PF2|sin F1PF212 .12 2563 32 6433
