1、图形的镶嵌地板、瓷砖当你在为家庭装修忙碌时，是否知道这其中也有着数学问题呢？例如，最常见的瓷砖拼装，同样都是方方正正的瓷砖，为什么效果不一样呢？如下图，这是常见的两种瓷砖如今，家庭装修大多使用第二种正方形瓷砖这种瓷砖比较适合矩形房间的地面装饰，通常这种瓷砖图案形成中心对称图形这样无论如何铺设都能形成图案而在街道道路上，通常用第一种瓷砖作铺垫当然，还有其他形状的瓷砖，这里就不一一作介绍了显而易见，这两种常规瓷砖都是正多边形那么，是不是所有的正多边形都能作为瓷砖拼装呢？显而易见，在现实生活中，一般就只有这几种形状的瓷砖在装修中，瓷砖拼装首先要拼基本图案说到拼装，就要先谈一谈嵌合图形的拼装在一种拼装
2、图案里，如果基本元素图案只有一种，这就叫做单元拼装在单元拼装里，如果基本元素是正多边形，这种拼装便称为正规拼装当拼装时各个基本单元图案的边与边完全吻合，这种拼装可以称为棱对棱拼装瓷砖拼装其实是正规的棱对棱的单元拼装如图 1，它就是一种棱对棱的单元正规拼装它的基本元素就是图 2 的正方形那么，棱对棱的正规单元拼装有几种呢？是不是所有的正多边形都能进行棱对棱的单元拼装呢？由图 1 可以看到，它是一个由 4 个小正方形组成的大正方形取它的中心对称点来分析，在此点周围一共就有 4 个小正方形，同理可得，该大正方形的其他的顶点周围应该也有 4 个小正方形假设某种 N 边的正多边形能进行棱对棱的单元拼装，
3、且在它的每一个顶点周围有 M 个该正多边形因为 M 为顶点，所以 M 应该能被 360 整除由多边形内角和公式可以得到：即因为 M、N 都是正整数，且 N3，所以只有当 N 为 3，4，5 和 6 时符合条件而当 N 5 时，即基本图形为正五边形时，内角为 108，而 108 不能除尽360，所以也舍去所以当 N3、4、6 时满足条件因此，只有 3 种单元正规棱对棱的拼装这也就是为什么现代地瓷装修主要是这几种形式以上三种就是正多边形棱对棱正规拼装的一些示例在三角形、四边形和六边形中，当多边形的边数为 3 时，它的一个顶点可容纳 6 个此种多边形当多边形的边数为 4 时，它的一个顶点可容纳 4
4、个此种多边形当多边形的边数为 6 时，它的一个顶点可容纳 3 个此种多边形当基本元素是三角形或矩形时，环绕在一个顶点的多边形的棱正好形成以此点为中心的中心对称图形又因为正方形与现代居室相近，所以现代装修中瓷砖拼装以正方形为主变换一下颜色或是改变一下摆放次序，就能产生新的图案360182N2在公园或街道上有时会有一种呈矩形的地砖在这种地砖的镂空处可以种植草坪如：也有像正方形的镂空地砖，如：在嵌合图形的拼装中，正多边形的棱对棱的正规拼装只是其中极小的一小块而已有时候，为了达到美观效果，还会采取多元拼装，就是一个基本单元里有两种以上的基本图案以上图中的左图来分析，在它的一个基本单元里，有两种正多边形
5、正方形和正八边形它的一个顶点有一个正方形和两个正八边形为什么会这样排列呢？因为正八边形的一个内角为 135，正方形的一个内角为 90，而135290360，所以这个组合可以成功再以上图中的右图来分析，在它的一个基本单元里，它虽然也只有两种正多边形正六边形和正三角形，但它的顶点就有两种情况：一是周围有六个正三角形，二是周围有两个正三角形和两个正六边形再以下图为例，它的基本单元里仍是正六边形和正三角形两种，在它的一个顶点周围只有两个正三角形和一个正六边形可见，同样的基本图形组成的不同的图形之间有着很大的差异倘若有一个图形的基本元素由 m 个正 M 多边形和 n 个正 N 多边形组成，且该图形为多元
6、正规棱对棱拼装，那么会有几种这样的图形呢？这个问题的答案就留给读者思考吧上述的图形拼装都建立在正规棱对棱拼装的基础上，其实嵌合图形的种类很多，只要是能填满一个平面的图案就叫做嵌合图嵌合图形是数学和美术的结合，而瓷砖拼装是其中的一个典范怎么样？小小的瓷砖拼装还是大有学问的吧？只要稍微留心一下，生活中处处都可以发现数学的所在以下是一些是埃舍尔（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）荷兰最著名的版画，大家可从中感受 镶嵌图形的魅力埃舍尔（Maurits Cornelis Escher，1898-1972 ）是荷兰最著名的版画家，1937 年以前埃舍尔并没有多大的名气，那
7、时他的作品尽可能真实地描绘现实客观世界一次到西班牙的 Alhambra 宫殿访问激发了他新的创作灵感并使他成名他不再描绘他所看到的而是开始构思他自己的视觉观念这就有了他后来流行的规则的平面分割、转变，错综复杂的谜一般的版画和他天才的空间建筑他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业他的工作成果直到五十年代才被注意，1956 年他举办了他的第一次重要的画展，这个画展得到了时代杂志的好评，并且获得了世界范围的名望在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家，他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化因为这个
8、荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点他也被悖论和“不可能”的图形结构所迷住，并且使用了罗杰彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果这样，对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域：“空间几何学”和我们或许可以叫做的“空间逻辑学”镶嵌图形：规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列一般来说，构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状，例如经常在地
9、板上使用的方瓦然而，埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的；并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由他的兴趣是从 1936 年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在 Alhambra 看到了当地使用的瓦的图案他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些“是我所遇到的最丰富的灵感资源”，1957 年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：“在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见，它不是数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域从他
10、们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园” 无论这对数学家是否公平， 有一点是真实的他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形这样做的效果既是惊人的，又是美丽的鸟分割的平面（21k） 、蜥蜴（65k） 、循环（40k） 、逐步展开 1（59k） 在 “蜥蜴”里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风，然后又重新陷入原来的图案埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式在“逐步展开 1” 中，可以追溯到这个方形的镶嵌图形从边缘到中间的不断扭曲转化 在荷兰王国贝娅特丽克丝女王陛下访华之际，埃舍尔先生的展览将在太庙举行展览上， “埃舍尔虚拟现实游”将设置在一间像电影院的小屋中，参观者可以亲身感觉到埃舍尔观念中的建筑是多么的令人不可思议，声光电的综合应用使你感觉像在畅游佳境
