1、1专题 27 应用基本不等式求最值的求解策略【高考地位】基本不等式是不等式一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等” ，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】方法一 凑项法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步 根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等” ，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；第二步 使用基本不等式对其进行求解即可；第三步 得出结论.例 1 已知点
2、 A 在线段 BC 上（不含端点） ，O 是直线 BC 外一点，且 20OAaBbC,则2ab的最小值是_【答案】 【变式演练 1】已知 54x，求函数 1425yx的最大值。【答案】 ma1y.【解析】2试题分析：因 450x，所以首先要“调整”符号，又 1(42)5xA不是常数，所以对 42x要进行拆、凑项， ,， 14253yx1，当且仅当154x，即 x时，上式等号成立，故当 x时， maxy。点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。【变式演练 2】求函数 21()yxx的最小值。【答案】8.方法二 分离法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步 首先观察已知
3、函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.例 2 求2710()xyx的值域。【答案】详见解析. 【解析】试题分析：3当 ,即 时, 421)59yx（ （当且仅当 x1 时取“”号） 。【方法点晴】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x1）的项，再将其分离。分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()
4、(0,)AymgxB， g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。【变式演练 3】求函数 yx49的最值。【答案】详见解析.方法三 函数法使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况解题模板：第一步 运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；第二步 运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；第三步 结合函数 ()afx的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；第四步 得出结论.例 3 求函数254xy的值域。4【答案】详见解析.【变式演练 4】下列函数中，最小值为 4 的是（ ）A 4yx B sin（
5、0x）C 4xye D 3loglx【答案】C【解析】试题分析： 424xxee，当且仅当 4,ln2xxe时等号成立，故选 C.考点：基本不等式【高考再现】1.【2017 山东理，7】若 0ab，且 1a，则下列不等式成立的是（A） 21logab （B） 21logabab（C） a （D） 【答案】B【解析】试题分析：因为 0b，且 1， 所以221,0,1,log()l,aabab51 212log()abbab，所以选 B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较
6、,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.2. 【2015 高考四川，理 9】如果函数 21810fxmxnmn， 在区间 12， 上单调递减，则 mn 的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D） 2【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到 m、 n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式
7、出现.3. 【2015 高考湖南，文 7】若实数 ,ab满足 12ab，则 的最小值为( )A、 2 B、2 C、2 D、4【答案】C【解析】 1120 ,2abababab， ， ， ， （当且仅当2ba时取等号） ，所以 的最小值为 2，故选 C.6【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解4. 【2015 高考福建，文 5】若直线 1
8、(0,)xyab过点 (1,)，则 ab的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【考点定位】基本不等式【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量 ,ab关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定” ，属于中档题5.【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 的值是 .【答案】30【解析】总费用 60904()2904xx，当且仅当 90x，即 30x时等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在
9、利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6.【2017 山东文，12】若直线 1(0)xyab ， 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为 .【答案】 8【解析】7【考点】基本不等式【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正” “二定” “三相等” 所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、
10、和为常数的形式,然后再利用基本不等式7. 【2015 高考重庆，文 14】设 ,05ab+=,则 1+3ab的最大值为_.【答案】 23【解析】由 ab两边同时加上 2ab得 22()()两边同时开方即得： 2()ab（ 0,且当且仅当 ab时取“=”） ，从而有 1+3ab(13)93ab（当且仅当 13b,即 73,2时，“=”成立） ，故填： 2.【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式 2ab转化为2()ab（a0,b0 且当且仅当 a=b 时取“=” ）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.8.【2017 天津理，12】若
11、,abR， 0，则41ab的最小值为_.【答案】 4 8【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式， （1） 2,abRab ，当且仅当ab时取等号；（2） ,abR ， 2ba ，当且仅当 时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法” “1 的妙用”求最值.9. 【2015 高考天津，文 12】已知 0,8, 则当 a 的值为 时 2logab取得最大值.【答案】4【反馈练习】1 【安徽省蒙城县 2018 届高三上学期“五校”联考数学（文）试题】已知正项等比数列 naN满足 5432a，若存在两项 ,mn
12、a使得 1,8mna，则 9n的最小值为（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】 因为正项等比数列满足 5432a，所以 43211aqaq，即 20q，解得 2q，因为存在两项 ,mna使得 18mn，所以 221164mn，整理，得 6，所以 ，所以 19991002628688nmn n ，当且仅当 m时，即 ,2n等号成立，故选 B.92 【黑龙江省齐齐哈尔市 2017 届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】设 102m，若21km恒成立，则 k的取值范围为（ ）A. ,0,4 B. ,0,2 C. 4,2 D. ,4【答案】D【解析】由于 12，则 2m= 21 821
13、4mm 当 2m=1-2m 即 m= 4时取等号；所以 21km恒成立，转化为 12m的最小值大于等于 2k，即 2k 8； 故选 D 3 【豫西南部分示范性高中 2017-2018 年高三年级第一学期联考文科数学试题】已知正项等比数列 na的公比为 2，若 24mna，则 1n的最小值等于（ ）A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C4 【安徽省十大名校 2018 届高三 11 月联考数学（文）试题】若正数 ,mn满足 95mn，则（ ）A. mn有最小值 36，无最大值 B. mn有最大值 36,无最小值C. 有最小值 6，无最大值 D. 有最大值 6，无最小值【答案】A【解析】 因为
14、95nn，所以 195n，因为 162mm，所以 6m，解得 6，即 3mn，10则 mn的最小值为 36，无最大值，故选 A.5 【广西桂林市柳州市 2018 年届高三综合模拟金卷（1）理科数学试题】已知圆 21:4Cxay和圆 22:Cxyb只有一条公切线，若 ,abR且 0，则 2ab的最小值为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 9【答案】D6 【2018 届高三南京市联合体学校调研测试数学试题】已知实数 ,xy ， 0,xy，且满足24xy，则 2xy的最小值为_【答案】 3【解析】 0,xy ，则 212xyxy，设 2txy ，则由已知 24xy可得24,t解得 34t ，当
15、且仅当 即 3 1y 时等号成立即答案为 37 【辽宁省鞍山市第一中学 2018 届高三上学期第二次模拟考试数学试题】函数 log41ayx（0a且 1）的图象恒过定点 A，若点 在直线 10mxny上，其中 ,mn均大于 0，则 2n的最小值为_【答案】 526【解析】函数 log41ayx的图象恒过定点 A(-3,-1),11则 3m-n+1=0,即 31n.26655252mn（ ） （ ）.8 【江苏省常州市 2018 届高三上学期武进区高中数学期中试题】已知 0x， y， 2xy，则221xy的最大值为_.【答案】 39 【江苏省常州市武进区 2018 届高三上学期期中考试数学（文）
16、试题】已知 0x， 0y， 2xy，则21xy的最小值为_.【答案】 94【解析】 22 21412141xxyyxy122xy原式 2112144xyxyxy194214y故答案为 910 【2017-2018 学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三数学试题】设 ,abc是正实数，满足 bca，则 2bc的最大值为_【答案】 18【解析】由题意可得 2222448abcbcbcbc，当且仅当24bc且 ，即 且 a时等号成立。所以 21a。11 【上海市交通大学附属中学 2018 届高三上学期开学摸底考试数学试题】已知两正实数 ab、 ，满足4ab，则 221ab的最大值为_
17、【答案】 51312 【江西省新余市第一中学 2018 届毕业年级第二模拟考试理科数学试题】函数 1(0,)xya的图像恒过定点 A，若点 在直线 10mxny上，且 ,mn为正数，则 n的最小值为_【答案】4【解析】 函数 10,xya的图象恒过定点 A， 1,， 点 A在直线 10mxny上0mn， nm， 1224nmn ，当且仅当 12时取等号， 2n时， 的最小值为 4，故答案为 .【易错点晴】本题主要考查指数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是
18、否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.13 【山东省德州市 2017-2018 学年高三年级上学期期中预测数学（文科）试题】如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，且对角线 MN 过点 C，已知AB=2 米，AD=1 米 14（1）要使矩形 AMPN 的面积大于 9 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？ （2）当 DN 的长度为多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值【答案】 （1） （0， 2）（2，+） ；（2）矩形花坛的面积最小为 8 平方米.14 【河南省漯河市高级中学 2018 届高三上学期期中试题】若关于 x的不等式 3210xt的解集为 R，记实数 t的最大值为 a.（1）求 a；（2）若正实数 ,mn满足 45，求 1423ymn的最小值.【答案】 （1） 3（2）315
