1、1,6.4定积分的应用,一、平面图形的面积 二、立体的体积 三、经济应用,2,定积分引例的回顾,用定积分解决曲边梯形面积的步骤可概括为四步： (1)分割：将大曲边梯形分成n个小曲边梯形;,( Ai为第i个小曲边梯形的面积)；,(2)取近似：,(3)求和：,(4)取极限：,提示：用A表示任一小区间x,x+x上窄曲边梯形面积,则A=A,并取Af(x)dx=dA,于是Af(x)dxA=lim f(x)dx,3,元素法(微元法)思想,一般说来，如果所求量U与x的变化区间a,b有关，且关于区间a,b具有可加性，在a,b中的任意小区间x,x+x上找出U的部分量的近似值dU=f(x)dx,那么,求量U的这种
2、方法叫做定积分的元素法。,称为量U的元素(微元)。,应用方向:,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长,4,应用元素法的前提,所求量U满足以下三点： (1)所求量U与变量x的变化区间a,b有关； (2)所求量U对a,b具有可加性； (3)微元dU=f(x)dx,弧长,体积,面积,5,元素法一般步骤,1. 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间a,b。 2. 设想把区间a,b分成个n小区间,取其中任一小区间并记为x,x+dx,估计出所求量U相应于这小区间的部分量U的近似值。如果U能近似地表示为a,b上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx称为量
3、U的元素且记作dU,即dU=f(x)dx 。 3. 以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间a,b上作定积分，得,即为所求量的积分表达式.,6,平面图形的面积(关于x积分),平面图形面积问题可借助定积分几何意义或者用元素法思想进行求解。,直角坐标情形:,面积元素: dU=|f(x)|dx,曲边梯形的面积,面积元素: dU=|f2(x)-f1(x)|dx,平面图形的面积,7,左右为曲边的图形面积计算,由左、右两条曲线x=(y)、x=(y)及直线y=c、y=d (其中cd)围成的图形的面积：,其面积的微元为：,所求的面积为：,这是以y为积分变量的面积表达式,8,例题与讲解(1条曲线),9,
4、例题与讲解(2条曲线),例：计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积。,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,10,平面图形的面积(关于y积分),1:介绍关于y轴积分的平面图形面积计算公式 2：重新做前面例题,11,例题与讲解*,例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,12,例题与讲解(选择适当的方法),例：计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.,解,两曲线的交点,选 为积分变量,13,例题与讲解,例*：求摆线,与x轴围成的图形的面积.,一拱形,解：,14,极坐标下平面图形面积计算*,极坐标
5、情形： 设由曲线r=()及射线=、=围成一曲边扇形,求其面积。其中()在,上连续,且()0。,面积元素,曲边扇形的面积,15,例题与讲解,例：求双纽线2=a2cos2所围平面图形的面积.,解,由对称性知总面积=4倍 第一象限部分面积,16,例题与讲解,例：求心形线r=a(1+cos) (其中a0)所围平面图形的面积。,解,利用对称性知,17,平行截面面积已知的立体体积,如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算。,立体体积,18,例题讲解(圆锥体积),19,例题与讲解*,例：设有一底圆半径R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底圆直径的
6、平面所截,求截下的楔形体积。,立体中过点x且垂直于x轴的截面是直角三角形。,解 取如图所示的坐标系，则底圆方程为,其面积为,楔形体体积为,20,旋转体的体积,旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体,这条定直线称为旋转体的轴。,取x为积分变量,变化区间为 a,b过点x的且垂直于轴的截面面积为,绕x轴旋转的旋转体体积为:,或,设旋转体表面是由曲线段y=f(x), xa,b绕x轴旋转一周而成,现计算其体积(容积)。,21,绕y轴旋转的旋转体体积,由连续曲线段x=(y),yc,d绕y轴旋转而成的旋体如右图：,绕y轴旋转的旋转体的体积为:,或,22,例题与讲解,例：求由椭圆,旋转
7、椭球体的体积,解 旋转椭球体可看作由上半椭圆,绕x轴旋转。,所围成,的图形绕x轴旋转而成的,23,例题与讲解,例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕y轴旋转而成的体积。,解：,24,经济应用举例之一,已知总产量的变化率求总产量已知某产品总产量Q的变化率是时间t的函数f(t),且时刻t0的产量Q0,即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .则,产品的总产量函数可表示为,注：通常假设t0=0时，Q0=0即Q(t0)=0。,25,例题与讲解,例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2 (吨/小时),求总产量函数Q(t);从t0=4到t1=8这段时间内的总产量Q。 解：,=57
8、2.8(吨),26,经济应用举例之二,已知边际函数求总量函数 例：已知生产某产品x(百台)的边际成本、收益函数分别为MC=3+x/3(万元/百台),MR=7-x (万元/百台),并知固定成本为C(0)=1(万元).求总收益、总成本函数;产量从1百台增加到5百台时的总利润增加额L。,解：,答：,27,小结,1. 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积。,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,2. 旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周*,3. 经济应用: 已知变化率求总函数值。,28,练习,解答,解答,解答,解答,解答,解答,解答,29,练习解答 1(1),解,返回习题,30,练习解答 1(2),解,返回习题,31,练习解答 2(1),解,返回习题,32,练习解答 2(2),解,33,练习解答 3,解,返回习题,34,练习解答 4,解,返回习题,35,练习解答 5,解,返回习题,
