1、第1章 函数,微积分I,任课教师 马连荣,Email: ,Tel: 62796896 (O)13901115853 (M),办公地点： 荷二楼213房间,微积分学教程,数学分析习题集,高等数学例题与习题集,蔡大用等译,参考书目,集合(set),常用的数集,自然数集 natural number,整数集 integer,有理数集 rational number,复数集 complex number,子集,真子集,空集,区间(interval),邻域,去心邻域,常用逻辑符号,表示A蕴含B.,A是B的充分条件.,若A成立，则B成立.,B是A的必要条件.,表示A与B等价.,A成立当且仅当B成立.,A是
2、B的充分必要条件.,For All,表示对于所有的 x, P(x) 都成立.,表示对于所有的正数x, P(x)都成立.,There Exists,表示存在 x 使得 P(x)成立.,表示能够找到正数 x 使得 P(x) 成立.,的否定,的否定,第1章 函数,函数的定义,设X是一非空实数集。如果按照某种确定,1.1 函数概念,函数用来描述变量变化过程中的相互依赖关系。,关系 f ，对于每个 ，都有Y 内唯一的实数y与其对,应，则称 f 为定义在D上的一个函数(function)。,为函数的值域(range)。,用数学记号表示为：,称X是函数的定义域(domain)， 称,注意： 不一定是Y，可以
3、是Y的真子集！,例1.1.1,定义域,值域 -1，1.,例1.1.1,定义域,值域 -1，1.,另一种表示方式:,例1.1.2,定义域,值域 0，1.,另一种表示方式:,下面介绍几个有趣并且在今后会用到的函数。,例1.1.3 两种“取整”函数,(1) 符号 表示小于或等于 x 的最大整数。,，称为地板(floor)函数，或者下取整函数。,(2) 符号 表示大于或等于 x 的最小整数。,是定义在 上的一个函数，值域为 。 也经常写成,例1.1.3 两种“取整”函数,(2) 符号 表示大于或等于 x 的最小整数。,(ceiling)函数，或者上取整函数。,是定义在 上的一个函数，值域为 ，又称为天
4、花板,地板函数图像,天花板函数图像,例1.1.4 符号函数,定义域,值域 -1，0，1,例1.1.5,Dirichlet函数,定义域,值域 0，1,例1.1.6,Riemann函数,定义域,值域,任意有理数都可以写成 ，其中 ，且,例1.1.4,图像,最后介绍两个“不能作图”的函数。,1.2 函数的初等性质,1.2.1 函数的奇偶性,设函数 定义在对称区间 或 上，,若对于任意 ，,则称 是奇函数,(odd function)。若对于任意 ， 则称,是偶函数(even function)。,例1.2.1,都定义在对称区间 I上。,是奇函数;,是奇函数;,是偶函数。,是偶函数。,对于任意,例1.
5、2.2,分别是,例1.2.3,数。因为对于任意 ,例1.2.4,Dirichlet函数,是定义在 上的偶函数。,1.2.2 函数的单调性,设 是定义在区间X上的一个函数，若对于任意,有 ，则称 是X上,的单调增加函数(increasing function)。若对于任意,有 ，则称 是X上的单调减少,函数(decreasing function)。,例1.2.5,在 上单调增加， 在,上单调增加，在 上单调减少。,1.2.3 函数的周期性,例1.2.6,若 是以T为周期的周期函数，则,是以 为周期的周期函数。,这就说明 以 为周期。,例1.2.7,常函数,但其没有最小周期。,例1.2.8,Di
6、richlet函数,但其没有最小周期。,是周期函数，,是周期函数，,对于函数 ，若存在正数T，使得对定义域内任,意x，有 ，则称 是周期函数(period,的最小周期，简称周期。,function)。满足 的最小正数T 称为,1.2.4 函数的有界性,设函数 在区间I上有定义，如果存在正数M，,上有界(bounded)。,使得对任意 ，有 ，则称 在区间I,例1.2.9,函数 在 上有界，因为,但是函数 在 上无界，,这是因为对于任意 ，存在,关于实数集的界：,上、下界,设A是实数集，若存在数b使得 对所有,上界(upper bound)；,都成立，则称数集A有下界。实数a称为A的一个下界,若
7、存在数a 使得 对所有,(lower bound)。,若数集A既有上界又有下界，则称A有界。显然，,确界,若数集A有上界，且A的上界中存在最小值 ，,则 称为A的上确界(supremum)，记作sup(A)；若A,有下界，且A的下界中存在最大值 ，则 称为A的下,确界存在公理,非空数集若有上(下)界，则必有上(下),确界。,确界与最值关系,确界(infimum)，记作inf(A)。,例1.2.10,函数 在,上有界。,和 都不存在。,1.3 反函数与复合函数,1.3.1 反函数,设 ，若对于任意 存在唯一,使得 ，则称这种反对应关系为f 的反函数,(inverse function)，记作 。
8、,反函数存在的充分必要条件是，f在定义域X和值域,Y之间建立了一一对应关系。,例1.3.1,求 的反函数。,解：,由 得,又因为 时，,所以， 的反函数是,例1.3.2,求 的反函数。,解：,由,即,1.3.2 复合函数,这个从X到Y的对应关系称为函数g与f 的复合，记作,例1.3.3,。因此，可构造复合函数,设 和 是两个函数，则对于任意,存在唯一 进而存在唯一 。,即,的定义域是,例1.3.4,设 ，则,函数复合的运算律判断,Very Important!,交换律：,结合律：,分配律：,对应关系和反对应关系示意图：,第一讲作业：P6. 习题1. 第7题P10. 习题2. 第4,7,8题 P16. 习题3. 第7,9,11题,没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能像无穷那样需要加以阐明。希尔伯特(Hilbert),
