1、1,第 讲,4,函数的单调性 （第二课时）,第二章 函数,2,题型四：利用单调性求参数的取值范围 1.设aR，为常数， 已知函数f(x)=lg(ax-1)-lg(x-1)在区间10，+)上单调递增， 求a的取值范围.,3,解法1：由已知， 当x1x210时，有f(x1)f(x2)恒成立， 即lg(ax1-1)-lg(x1-1)lg(ax2-1)-lg(x2-1) (ax1-1)(x2-1)(ax2-1)(x1-1)ax2-10,4,即 (a-1)(x1-x2)0所以 a-10恒成立. 因为 所以 所以a的取值范围是,5,解法2：因为 在10，+)上是增函数， 所以 在10，+)上是增函数. 又
2、 在10，+)上是减函数， 所以a-10，即a1. 因为当x10，+)时f(x)有意义， 所以当x10时，ax-10恒成立， 即 恒成立， 所以 故,6,点评：由函数的单调性逆求参数的取值范围，即根据单调性质得出相应的不等式(组)，由此不等式(组)恒成立，得出相应参数的取值范围，注意函数定义域的应用.,7,8,9,10,题型五：利用函数单调性求解函数不等式 2.已知奇函数y=f(x)是定义在(-2，2)上的减函数， 若f(m-1)+f(2m-1)0， 求实数m的取值范围.,11,因为f(m-1)-f(2m-1)，且f(x)为奇函数， 所以f(m-1)f(1-2m). 又因为f(x)在(-2，2
3、)上递减， 所以-2m-11-2m2， 即 所以m的取值范围为,12,点评：与函数有关的不等式的解法，关键是根据单调性质剥掉外层符号“f”，得出相应的具体不等式，特别注意函数定义域这一个隐含条件不能忽略.,13,设函数 解不等式f(x2+x-1)1.显然，f(x)的定义域为(0，+). 又 因为 和 在(0，+)上都是增函数， 所以f(x)在(0，+)上是增函数.,14,又f(1)=1， 所以不等式化为f(x2+x-1)f(1) 0x2+x-11，即 x2+x-10x2+x-20. 由此解得,15,题型六：抽象函数的单调性问题 3. 已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(1)0， 且对任意x
4、，yR， 都有f(x+y)=f(x)+f(y). 若f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR都成立， 求实数k的取值范围.,16,取x=y=0，则f(0)=2f(0) f(0)=0， 所以不等式可化为f(k3x+3x-9x-2)f(0). 因为f(x)是单调函数，f(1)0=f(0)， 所以f(x)是R上的单调递增函数， 从而不等式等价于k3x+3x-9x-20， 即 恒成立.,17,所以 因为 当且仅当 时取等号， 所以 故k的取值范围是,18,点评：解决抽象函数问题，其策略是利用赋值法或配凑法，如本题中令x=y=0，得到f(0)=0，从而将不等式化为f(k3x)+f(3x-9x-2)
5、 f(0),再利用函数的性质剥掉外层符号“f ”，即可求解.有时还可以找一具体函数来理解，如本题中的具体函数是f(x)=kx.,19,已知f(x)是定义在(0，+)上的增函数， 且对任意x，y0，有f(xy)=f(x)+f(y)， 若f(2)=1， 解不等式f(x)+f(x-3)2.,20,取x=y=2，则f(4)=2f(2)=2， 所以不等式化为fx(x-3)f(4). 因为f(x)是定义在(0，+)上的增函数， 所以 x(x-3)4x-30 x0， 即， 解得3x4. 所以原不等式的解集是(3，4.,x2-3x-40,x3,21,1. 判定抽象函数的单调性，一般用定义法，但要注意对抽象函数的性质条件作适当变通，如当函数f(x)为奇函数时，f(x)+f(y)=f(x+y)f(x)-f(y)=f(x-y).,22,2. 求单调函数中参数的取值范围，是单调性概念的逆向运用，一般通过分离参数，转化为不等式恒成立问题来解决.需要注意的是，所有的不等式变形都必须在题设单调区间或函数定义域内进行. 3. 利用函数单调性比较大小、证不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强单调性的应用意识，提高解题技能.,
