1、1“向量空间的定义” 教案（50 分钟）I 教学目的1、使学生初步掌握向量空间的概念。2、使学生初步了解公理化方法的含义。3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。II 教学重点向量空间的概念。 教学方式既教知识，又教思想方法。 教学过程第六章 向量空间6.1 定义和例子一、向量空间概念产生的背景1） 数 a+b, ab; 2） )()(几何向量 ; 3）a,0多项式 f(x)+g(x),af(x); 4） 函数 f(x)+g(x),af(x); 5） aa)(矩阵 A+B，aA; 6） b 7） b8） 1二、向量空间的定义定义 1 令 F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母 a,b,c
2、,来表示。令 V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 来表示。把 V 中的元素叫做向量，,而把 F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称 V 是 F 上的向量空间：21 在 V 中定义了一个加法，对于 V 中任意两个向量 ，有唯一确定的向量与,它们对应，这个向量叫做 的和，并且记作 。与 即若 则 。,)(2 有一个数量与向量的乘法，对于 F 中每一个数 a 和 v 中每一个向量 有 v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做 a 与 的积，并且记作 。即 。VaVFa),(,3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律：1） ；2） ；)(3）在 V 中存在一个零向量，记作
3、 0，它具有以下性质：对于 V 中每一个向量 ，都有 ；04）对于 V 中每一向量 ，在 V 中存在一个向量 ，使得 ，这样的0叫做 的负向量。5） ；aa)(6） ；b7） ；)()(b8） 。1注 1：定义 1 称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。公理化方法 形 式 以 理 化 方 法实 质 公 理 化 方 法注 2：数域 F 称为基础域。三、向量空间的例子例 1 解析几何里，V 2 或 V3 对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。例 2 Mmn（ F）对于矩阵的加法和数乘来说作成 F 上的向量空间。特别， 关于矩阵加法和数乘构成的 F 上
4、的,21,|),(21 niFaainn 向量空间称为 F 上的 n 元列空间。3关于矩阵加法和数乘构成的 F 上的向量空间称为niFaFin,21,|21F 上的 n 元列空间。例 3 复数域 C 可以看成实数域 R 上向量空间,|Rba例 4 任何数域 F 都可以看成它自身上的向量空间。例 5 Fx关于多次式的加法和数与多项式的乘法来说作为 F 上一个向量空间。例 6 Ca,b关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域 R 上的向量空间。)()(xafgxf例 7 R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义 V 中两个元素的加法运算为：ba,定义 V 中元素与 R 中元素的数乘运算“
5、 ”为pRvkk,下面验证 V 对于这两种运算满足定义中的八条规则： 1 ；abab2 ；)()()()( cbcc3 ；4 a 的负元素是 a-1, ;11a5 ;lkkll)(6 ;)(lll 7 kkkk baabbak )()(= ;8 ;1所以 V 是实数域上的向量空间。向量空间的例子是大量的，仅从以上例子也是可以看出，向量空间的涵义是多么广泛！4四、向量空间的简单性质 完 备 性独 立 性相 容 性公 理 体 系1、 有意义且可以任意交换被加项次序。ni n21证 由于向量空间中的加法适合结合律和交换律。2、在一个向量空间 V 里，零向量是唯一的；对于 V 中每一向量 , 的负向量
6、是由 唯一确定的。证 先证零向量的存在性，设 0 和 0都是 V 的零向量，那么0=0+0=0再 证 负 向 量 唯 一 ， 设 都 是 的 负 向 量 ，那么 ，于是和 0,. 0)()(0a把 唯一的负向量记作 ，则有（1） .即有移项变号法则成立.3、对于任意向量 和数域 F 中的数 a，有（2） 0,ao（3） )(（4） 或证： ooOo)()(= 0)(同理可证 aO=O aaa)()(同理可证 设 则但 ,001)()1(Oaa五、小结5向量空间是高等代数中一个极其重要的概念。从本节起高等代数进入研究代数系统的新阶段。在新阶段里，研究问题的方法同过去相比有很大不同，公理化方法和结构化方法将成为研究问题的主要方法。让我们师生共同努力，很好地完成认识上的这次飞跃。
