1、巧用角平分线解题1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只 给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点已知：如图，ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点I，求证：点 I 在ACB 的平分线上证明：过点 I 作 IH AB、IGAC、IFBC，垂足分别是点H、G、F点 I 在BAC 的角平分线 AD 上，且 IHAB、IGACIH=I
2、G （角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH=IF IG=IF（等量代换）来源:学,科,网又 IGAC 、IF BC点 I 在ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点【例 2】已知：如图，PA、PC 分别是ABC 外角 MAC 和NCA 的平分线， 它们交于点 P，PDBM 于 D，PF BN 于 F求证：BP 为MBN 的 平分线D CBAEHIFG【分析】要证 BP 为 MBN 的平分线，只需证 PD=PF，而 PA、PC 为外角平分线， 故可过 P 作 PEAC 于 E根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE ，则
3、有 PD=PF，故问题得证【证明】过 P 作 PE AC 于 EPA、PC 分别为MAC 与N CA 的平分线且 PDBM ，PF BNPD=PE，PF=PE, PD=PF又PDBM ，PFBN, 点 P 在MBN 的平分线上，即 BP 是MBN 的平分线2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上 的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题例 3ABC 中，C=90，AC=BC，DA 平分CAB 交 BC 于 D 点，问能否在 AB上确定一点 E 使BDE 的周长等于 AB 的长请说明理由解：过 D 作 DEAB，交 AB 于 E 点，则
4、E 点即可满足要求因为C=90，AC=BC， 又 DEAB，DE=EBAD 平分CAB 且 CDAC、EDAB， CD=DE 由“HL” 可证 RtACDRtAED AC=AE2DCBA35EF14L BDE =BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB例 4如图，B= C=90，M 是 BC 上一点，且 DM 平分ADC，AM 平分DAB来源:学*科*网 Z*X*X*K求证：AD=CD+AB证明：过 M 作 MEAD，交 AD 于 EDM 平分ADC，C=90来源:学科网MC=ME 根据“HL”可以证得 RtMCDRtMED，CD=ED同理可得 AB
5、=AE CD+AB=ED+AE=AD 即 AD=CD+AB3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例 5.如图，已知ABC 中 BAC=90，AB=AC，CD 垂直于ABC的平分线 BD 于 D，BD 交 AC 于 E，求证：BE=2CD 分析：要证 BE=2CD，想到要构造等于 2CD 的线段，结合角平分线，利用翻折的方法把CBD 沿 BD 翻折，使 BC 重叠到 BA 所在的直线上，即构造全等三角形（BCDBFD ） ，然后证明 BE 和 CF（2CD）所在的三角形全等证明：延长 BA、CD 交于点 FBDCF（已知） BDC=BDF
6、=90BD 平分ABC （已 知） 1= 2在BCD 和BFD 中21()BDCF公公BCD BFD （ASA）CD=FD， 即 CF=2CD5= 4=90，BDF=90 3+ F=90，1+F=90。1= 3。在ABE 和ACF 中4513()ABC公ABEACF（ASA ）BE=CF， BE=2CD。例 6.如 图，已知 ACBD 、EA、EB 分别平分CAB 和 DBA，CD 过点 E，则 AB 与AC+BD相等吗？请说明理由【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法1可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段， 然后证明剩余的线段与另一条线段相等 （割）2把一个三角形移到
7、另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等 （补）DCA BE34DCA B65(1)FE1234DCA B65(2)EF12证法一：如图（1）在 AB 上截取 AF=AC，连结 EF在ACE 和AFE 中12ACFEACEAFE（SAS ） , ,又 ,6=D在EFB 和 BDE 中来源:学科网 ZXXK634DBEEFB EDB（AAS ） FB=DB AC+BD=AF+FB=AB证法二：如图（2 ） ，延长 BE，与 AC 的延长线相交于点 F43ACBDFF= 3在AEF 和AEB 中12AE来源:学,科,网AEFAEB（AAS）, AB=AF，B E=FE在BED 和FEC 中564BEFBEDFEC （ASA） BD=FC, AB=AF=AC+CF=AC+BD
