1、课时训练 19 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.复数 z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i |=|z+2|,则 2x+4y 的最小值为 ( )A.2 B.4 C.4 D.16解析:由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i |=|x+2+yi|,x 2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即 x+2y=3,来源:2 x+4y=2x+22y2=2=4,当且仅当 x=2y=时,2 x+4y 取得最小值 4.答案:C2.已知复数 z 满足|z+i|+|z-i|= 2,则|z-i +1|2的最大值是( )A.2 B. C. D.5解析:设复数-i,i,(- 1+i)在复平面内对应的点分
2、别为 Z1,Z2,Z3,如图所示,|Z 1Z2|=2,满足|z+i|+|z-i|=2 的复数 z 的几何意义是线段 Z1Z2,则|z-i+1| 2表示线段 Z1Z2上的点到点 Z3 的距离的平方.显然 Z1到 Z3的距离最大,值为,所以|z-i+1| 2的最大值为 5.答案:D3.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z 等于( )A.-+i B.-iC.-i D.+i解析:设 z=x+yi(x,yR),则 x+yi+=2+i,解得z=+i.答案:D4.若在复平面上的ABCD 中,对应复数 6+8i,对应复数为-4+6i, 则对应的复数是( )A.2+14i B.1+7iC.2-14i
3、D.-1-7i解析:设对应的复数分别为 z1与 z2,则有于是 2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1- 7i.答案:D5.A,B 分别是复数 z1,z2在复平面内对应的点,O 是原点,若|z 1+z2|=|z1-z2|,则AOB 一 定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形解析:|z 1+z2|=|z1-z2|,由复数加减运算的几何意义知:以 OA,OB 为邻边的平行四边形是矩形.AOB 是直角三角形.答案:B6.已知 zC,|z-2|=1,则|z+2+5i|的 最大值和最小值分别是( )A.+1 和-1 B.3 和 1C.5 和 D. 和
4、3来源:解析:由|z-2| =1 知 z 对应的点在以(2,0)为圆心,半径等于 1 的圆上,而|z+2+5i|=|z-(- 2-5i)|表示z 对应的点到点(-2,-5) 的距离.而圆心(2,0)与(- 2,-5)间的距离为,故最大值为+ 1,最小值为- 1.答案:A7.设关于 x 的方程 x2-(tan +i)x- (2+i)=0 有实数根,若 是一个三角形的内角,则 的 值为 .解析:根据题意 x2-(tan +i)x-(2+i)=0,xR ,(x 2-xtan -2)+(-x-1)i=0,解得 x= -1,tan =1. 为三角形内角,=.答案:8.已知|z 1|=1,|z2|=1,|
5、z1+z2|=,则|z 1-z2|= . 解析:在坐标系内以原点 O 为起点 作出 z1,z2对应的向量,如图,则向量对应 z1+z2,对应 z1-z2.由题意|=1,|=1,|=,可得OZ 1Z=120,Z 2OZ1=60,即Z 2OZ1是等边三角形.在Z 2OZ1中,|=1,即|z 1-z2|=1.答案:19.设复数 z1,z2满足|z 1|=|z2|=1,且 z1+z2=i,求 z1与 z2.解:设 z1=a+bi(a,bR),z 2=c+di(c,dR ),则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i=i,a+c=,且 b+d=.a=-c,b=-d.z 1=i,z 2=c+di.|z 1|
6、=|z2|=1,=1,解得z 1=-i,z2=1 或 z1=1,z2=-i.10.已知复数 z1=cos +isin ,z2=cos +isin ,|z1-z2|=,(1)求 cos(-)的值;(2)若- 0 ,且 sin =-,求 sin 的值.解:(1)z 1-z2=(cos +isin )-(cos +isin )=(cos -cos )+(sin -sin )i,|z 1-z2|=.来源 : 数理化网 |z 1-z2|=,来源:(cos -cos ) 2+(sin -sin )2=,整理得 cos(-)=.(2)-0 ,0 -,sin(-)=. 来源 :又sin =-,cos =.sin =sin( -)+=sin(-)cos +cos(-)sin =.
